własności funkcji albin55: udowodnij , że jezeli funkcja f(x)= x³ +ax +b ma trzy miejsca zerowe to a ≤ 0.

PW: Pochodne stosować można, czy tylko elementarny dowód?

PW: Z powodu dużego zainteresowania tematem udzielę sobie wskazówki: Wykazać (tak jak umiesz), że gdy a > 0, to f jest funkcją rosnącą.

pigor: ..., albo odpowiedz sobie na pytanie kiedy f będzie miała ma 2 ekstrema lokalne w swojej D=R .

albin55: przepraszam ale awaria komputera. Pochodne odpadają − natomiast dowód związany z monotonicznością /f(x) rosnąca dla a∠ 0 juz jest za mną

albin55: Założyłem , ze a≤0 i przeanalizowałem sytuację gdy ma * − jedno miejsce zerowe ⇒f(x)=(x−x₁)³ − dochodzę do sprzecznosci :tzn x₁=0 ⇒f(0)=b i a=3x₁² **− dwa miejsca zerowe ⇒f(x)=(x−x₁)²(x−x₂) − dochodze do tego , ze x₁=−¹₂x₂ co pociaga za sobą a=1¹₄x₂² co jest również sprzeczne z założeniem. Zatem zostaje tylko możliwość trzech miejsc zerowych. Czy to sensowne myślenie ?

PW: Do wpisu z 12:24. Funkcja jest rosnąca dla a>0. Koniec, kropka. Pokazaliśmy,przwdziwośc następującego zdania: Jeżeli a > 0, to f jest rosnąca (czyli nie może mieć więcej niż jedno miejsce zerowe). Zdanie to jest równoważne następującemu Jeżeli funkcja ma wiecej niż jedno miejsce zerowe, to nie może być a >0 (czyli a ≤ 0). Wpis z 12:59 to "nieporozumienie logiczne". Zakładasz prawdziwość tezy i coś z tego wywodzisz. Nie jest to w żaden sposób dowód postawionej tezy (zakładasz, że jest prawdziwa, więc wszelkie wnioski wynikają z prawdziwości tego, co masz udowodnić).

albin55: do wpisu 12.24 to znowu moje roztrzepanie − myślę większe −pisze mniejsze do wpisu 12.59 rozumiem i pojąłem błąd w myśleniu − dziękuje za podpowiedz. chodzi mi jednak czy można wykazać słuszność tego twierdzenia wychodząc z z tego , ze skoro ma trzy miejsca zerowe to można zapisać ja jako f(x)=(x−x₁)(x−x₂)(x−x₃) a następnie porównać odpowiednie współczynniki wielomianów. I chyba to wykazałem . Dziękuję za zainteresowanie. Pozdrawiam.

PW: Jeszcze nic nie wykazałeś. Rozważania o jednym czy dwóch miejscach zerowych były w ogóle niepotrzebne (założenie mówi o trzech miejscach zerowych). Dopiero teraz zaczynasz rozsądnie gadać: założyć, że są trzy miejsca zerowe − trzy różne liczby x₁, x₂ i x₃, wymnożyć i porównać współczynniki. Ale spróbuj to zrealizować − otrzymasz układ 2 równań z trzema niewiadomymi i parametrem a: − jedno równanie dla faktu, że współczynnik przy x² musi być zerem − drugie równanie dla faktu, że współczynnik przy x musi być równy a. Nic nie wiemy o x₁,x₂ i x₃ ani o parametrze a (mamy dopiero udowodnić, że jest ujemny).

albin55: dokładnie takim tropem idę −doszedłem do momentu , w którym pozostaje mi do wykazania że x₂²+x₂ x₃+ x₃² jest większe od zera.

albin55: (x₂+¹₂x₃)²+³₄x₃² jest większe od zera

albin55: Przepraszam , ze nie podziękowałem za pomoc − mam kłopoty z komputerem . dziękuję bardzo i pozdrawiam

PW: