Całka Damian: Mam problem z taką całką: ∫xctg²xdx Podstawieniem ?

Domel: 1. ∫x*ctg²x dx = 3. = −x² − x*ctgx − ∫(−x − ctgx) dx = Będzie nam potrzebna ∫ctg²x do całkowania przez części

	cos2x		1 − sin2x
2. ∫ctg2x dx = ∫		dx = ∫		dx =
	sin2x		sin2x

	1		1
= ∫(		− 1) dx = ∫(		− ∫dx = −ctgx − x
	sin2x		sin2x

Z pkt. 1. 3. | f(x) = x => f'(x) = 1 | = −x² − x*ctgx − ∫(−x − ctgx) dx | g'(x) = ctg^x => g(x) = −x − ctgx |

	t
4. ∫ctgx dx = | ctgx = t | = − ∫		dt =
	1 + t2

| −(1 + ctg²x)dx = dt | | (1 + t²) dx = −dt |

	dt
| dx = −		|
	1 + t2

	t		1		1		1
= − ∫		dt = | 1 + t2 = m | = −		∫		dm = −		ln(m) =
	1 + t2		2		m		2

| 2t dt = dm |

	1
| t dt =		dm |
	2

	1		1		1		cos2x
= −		ln (1 + t2) = −		ln (1 + ctg2x) = −		ln (1 +		) =
	2		2		2		sin2x

	1		sin2x + cos2x		1		1
= −		ln (		) = −		ln (		) =
	2		sin2x		2		sin2x

	1
ln (		)−1/2 = ln(sinx)
	sin2x

cd 1. = −x² − x*ctgx + ∫(x + ctgx) dx = −x² − x*ctgx + ∫x dx + ∫ctgx dx =

	1		1
= −x2 − x*ctgx +		x2 + 4. = −		x2 − x*ctgx + ln(sinx)
	2		2

Trivial: Domel, co to za elaborat? Można to skrócić do:

	cosx		(sinx)'
∫ctgxdx = ∫		dx = ∫		dx = ln|sinx| + c.
	sinx		sinx

	cos2x		1−sin2x		1
ctg2x =		=		= −1 +		.
	sin2x		sin2x		sin2x

	x
∫x*ctg2xdx = ∫(−x+		)dx = −12x2 − ∫x(ctgx)'dx = −12x2 − xctgx+∫ctgxdx =
	sin2x

= −¹₂x² − xctgx + ln|sinx| + c.

Domel: Poczekaj tylko − między innymi po to to robię, żeby ktoś przypomniał mi proste drogi − gdybyś Trivial tego elaboratu nie zobaczył to pewnie byś się nawet nie pochylił nad tym zadankiem − a tak i wilk syty i .... Damian może pogłówkować o co biega no i ja sem happy