Oblicz całkę z dokładnością do ∊ <=0.1 wino: ∫e^x ln(x)dx

Maslanek: Weźmy t=e^x dt=e^x dx Oraz ln(t)=x Co nam daje: ∫e^x ln(x) dx = ∫ ln(ln t) dt Spróbujmy przez części teraz:

	1
f=ln(ln t) f'=
	t*ln t

g'=1 g=t

	1		1
Mamy ∫ ln(ln t) dt = t*ln(ln t) − ∫t*		dt = t*ln(ln t)−∫		dt
	t*ln t		ln t

	1
Rozpatrzmy: ∫		dt
	ln t

Podstawmy: m=ln t

	1
dm=		dt
	t

oraz t=e^m

	1		1
Dostajemy: ∫		dt = ∫		*em dm
	ln t		m

Jeszcze raz przez części

	1
∫		*em dm
	m

	1
f=ln m f'=
	m

g'=e^m g=e^m

	1
Mamy ∫		*em dm=ln(m)*em − ∫ln(m)*em dm
	m

Zauważmy teraz, że m=x Przenosimy na druga stronę, dzielimy przez 2. Mamy wynik (mam nadzieję )

Maslanek: Nie będzie tak cukierkowo... Uprości się do tożsamości −,−

Trivial: Maslanek, to jest tak na poważnie?

Maslanek:

	ex
∫ex lnx dx = ex*lnx − ∫		dx
	x

	ex		1
∫		dx = dół = ∫		dt
	x		ln t

Niech t=e^x; dt=e^x dx; x=ln(t)

	1		x		1		x		1
Weźmy tą ∫		dx =		− ∫ −		dx =		+ ∫		dx
	ln x		ln x		ln2x		ln x		ln2x

	1		x		2		1		x
Mamy ∫		dx =		− ∫		*2lnx*		* x dx =		−
	ln2x		ln2x		ln3x		x		ln2x

	4
∫		dx
	ln2x

	1		1		x
Czyli ∫		dx =		*		dx (czy aby na pewno?)
	ln2x		5		ln2x

	1		t		1		t
Wtedy ∫		dt =		+		*
	ln t		ln t		5		ln2t

	ex		1		ex		1		ex
∫		dx= ∫		dt =		+		*
	x		ln t		x		5		x2

	ex		1		ex
Czyli: ∫ex lnx dx= exlnx −		+		*		.
	x		5		x2

Janek191:

	ex
∫ ex ln I xI dx = ex *ln I x I − ∫		dx
	x

natomiast

	ex		x		x2		x3
∫		dx = ln I x I +		+		+		+ ....
	x		1 * 1 !		2 *2 !		3* 3 !

Tak podają mądre książki

Maslanek: Nie wiem . Taka moja wesoła twórczość A to nie ma jakiegoś wyniku w postaci funkcji elementarnych?

MQ: Nie jest tak łatwo. W rozwiązaniu wychodzi funkcja całkowo−wykładnicza.

Trivial: Nie ma.

	ex
∫exlnxdx = exlnx − ∫		dx = exlnx − Ei(x) + c
	x

http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_ca%C5%82kowo-wyk%C5%82adnicza

Maslanek: Pierwszy raz widzę taką całkę na oczy Może dlatego, że wiele ich nie widziałem

Maslanek: Ale próba ciekawa Ciekawe, gdzie zrobiłem błąd

Trivial: Aby obliczyć wynik przybliżony można skorzystać np. ze wzoru Simpsona.

	h		b−a
∫ab f(x)dx ≈		(f(a) + 4f(a+h) + f(b)), h =		.
	3		2

	1
∫12 exlnxdx ≈		(0 + 4e1.5ln(1.5) + e2ln2) ≈ 2.06506
	6

	1
Z błędem E = −		h5f(4){ξ) ξ∊[a,b]
	90

	14
|E| <		≈ 0.00486
	90*25

http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+%284-th+derivative+%28e^xlnx%29%29+in+%281%2C2%29 I jeszcze całka policzona przez wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB_1^2+e^xlnxdx