Przybliżanie wartości potęgi metodą różniczki
matroz: Witam!
Chciałbym prosić o pomoc, jak przybliżyć wartość 1,023 korzystając z szeregu Taylora? Ma wyjść
1,06.
Prosiłbym o ogólny wzór i rozwiązanie podanego przykładu.
Pozdrawiam serdecznie
21 lut 19:12
Trivial:
To chyba jakieś żarty. Po co przybliżać coś, co można obliczyć dokładnie?
1.023 = 1.061208
bez żadnych przybliżeń...
21 lut 20:40
PW: Znaczy się przykład tak łatwy, że aż trudny.
21 lut 22:22
matroz: Trivial już tłumaczę
przykład prosty racja, chodzi o opanowanie metodyki układania równań w automatyce
22 lut 02:31
matroz: a przecież od prostych przykładów powinno się zaczynać
22 lut 02:32
asdf:
przyklad tak glupi, ze az musze pokazac
Zadanie:
Przybliz liczbę 9 ze wzoru Maclaurina!
1. Wybieram sobie funkcję, y = x
2. zamieniam na wielomian (p.s − to juz jest wielomian, ale brnę dalej!
):
y' = 1
y'' = 0
y''' = 0
y
(n) = 0 dla n > 1, wzor Maclaurina:
| | f'(0) | | f''(0) | | f(n)(c) | |
f(x) = f(0) + |
| * x + |
| * x2 + ... + |
| * xn |
| | 1! | | 2! | | n! | |
z tego, ze napisalem: f
(n)(x) = 0 dla n > 1, mozna skrocic ten zapis do:
| | f'(0) | |
f(x) = f(0) + |
| * x + 0 + 0 + ... + 0 |
| | 1! | |
tadam! mam funkcję:
| | 1 | |
f(x) = 0 + |
| * x = 0 + x = x |
| | 1 | |
teraz przyblizenie w punkcie x = 9:
f(9) = 9
WOW! Liczbe 9 przyblizylem do wartosci 9!
teraz tak samo mozna zrobic Twoj przyklad...dac:
f(x
0) = (x
0)
3
x
0 = 1.02
dokładność − sobie policzysz, ale pewnie po którejś pochodnej będzie każda kolejna zerem
22 lut 03:25
PW: Jednak chyba rozwinięcie Taylora w otoczeniu a = 1, tak jak w temacie. Maclaurina byłby mniej
dokładny, bo to rozwinięcie w otoczeniu zera (za daleko do 1,02). Poza tym w temacie jest coś
o różniczce − pewnie idzie tylko o dwa początkowe wyrazy z oszacowaniem reszty.
| | x−a | | (x−a)2 | |
(1) f(x) = f(a) + |
| f'(a)+ |
| f''(ξ) |
| | 1! | | 2! | |
U nas f(x) = x
3, a = 1, 1,02 = x > a, ξ∊[1, 1,02].
Liczymy: f'(x) = 3x
2, f''(x) = 6x i podstawiamy do wzoru (1):
| | 1,02−1 | | 1,02−1)2 | |
f(1,02) = f(1) + |
| f'(1) + |
| f''(ξ) |
| | 1! | | 2! | |
(1,02)
3 = 1
3 + 0,02•3•1
2 + 0,01•6ξ
(1,02)
3 = 1 + 0,06 + 0,06ξ
To 0,06ξ zaniedbujemy jako malutkie (to już nie matematyka, ale w tym zadaniu tak się działa,
na zasadzie "kto chce, może to udowodnić, bo wiemy, że ξ∊[1, 1,02]")
Odpowiedź: (1,02)
3 ≈ 1,06.
Niektórzy wzór (1) zapisują w postaci tzw. różniczki (tego nie lubię i nie umiem, chyba wygląda
to tak):
f(a+Δx) ≈ f(a) + Δx•f'(a),
gdzie przez Δx rozumie się "przyrost iksa" − u nas 0,02 − a resztę ze wzoru Taylora po prostu
się zaniedbuje i nie pisze 1!, bo to i tak 1. W tym zadaniu byłoby to f(1+0,02) = f(1) +
0,02•f'(1), to znaczy
(1,0,02)
3 = 1
3 + 0,02•3•1
2.
22 lut 12:13
Trivial:
> a przecież od prostych przykładów powinno się zaczynać
A gdy uczyłeś się rozwiązywania równań liniowych to zaczynałeś od równań postaci x = 7?
22 lut 12:52
Trivial: PW, widzę, że po mistrzowsku liczysz wartości wielomianów w punkcie.
22 lut 12:56
PW: Chciał, to ma − ulituj się nad początkującym. To nie on wymyślił zadanie
. Drugie zadanie
będzie: obliczyć sin(3,2).
22 lut 13:41
PW: Dodam, że ironia o "mistrzowskim liczeniu" jest w pełni uzasadniona, resztę policzyłem źle:
| | 0,022 | |
|
| •6ξ = 0,0002•6ξ = 0,0012ξ |
| | 2! | |
− te cholerne rachunki zawsze były moją słabą stroną
Na szczęście resztę się zaniedbuje i nikt (?) nie zauważył.
22 lut 14:48
Trivial:
Reszta służy tylko do ustalenia dokładności, trzeba jeszcze oszacować maksymalny błąd.
|ε| ≤ 0.0012*1.02 = 0.001224
Podsumowując, zamiast wykonać dwa mnożenia i dostać wynik dokładny, wykonujemy ich koło pięciu
i dostajemy wynik przybliżony, ale z oszacowanym błędem!
22 lut 15:01
matroz: Dzięki wielkie!
@PW chodziło mi właśnie o sposób przedstawiony na końcu.
Dobrze zrobiłem Twój przykład?
(założenie π≈3,14)
sin(3,2) ≈ sin(3,14+0,06) = sin(3,14) + 0,06 * cos(3,14) = 0 + 0,06 * (−1) = −0,06
23 lut 03:06