Przestrzeń liniowa Kamil: 1. Podaj definicje przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych.

PW: Mateńko, definicji szukamy w podręcznikach ewentualnie u wujka G. Kto by chciał tutaj wklepywać definicje.

Kamil: Bardziej mi chodzi jak tę definicję zastosować.

Kamil: w 1 definicji jest: Dla dowolnych u, v, w ∊ V zachodzi u+(v+w) = (u+v) + w I nie wiem jak to mam zastosować w tym zadaniu

PW: To jest tak zwana łączność dodawania. Równość ma być prawdziwa dla wszystkich możliwych trójek u, v, w. Masz dwa wyjścia: albo to udowodnić, albo pokazać przykład, że nie zawsze tak jest. W tym drugim wypadku koniec zadania − nie są spełnione warunki definicji, struktura nie jest przestrzenią liniową.

Kamil: A mógłbyś to jakoś rozpisać na tym przykładzie co podałem wyżej? Bo strasznie opornie wchodzą mi do głowy przestrzenie i podprzestrzenie.

PW: Podaj numer *.html − nie mogę znaleźć zadania.

Trivial: Daj konkretny przykład przestrzeni V.

Kamil: Nie rozumiem, jaki przykład?

PW: O 21:21 piszesz: "nie wiem jak to mam zastosować w tym zadaniu". W jakim zadaniu? Przecież to co piszesz wcześniej: u+(v+w) = (u+v)+w to fragment definicji − z tym się nie dyskutuje ani tego nie dowodzi, trzeba się nauczyć na pamięć i już.

Kamil: Ale jeżeli mam zadanie . Podaj definicje przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. To jak je rozwiązać?

Antek: TY nie kombinuj jak kasztanka Pilsudzkiego

Kamil: To pomożecie mi? Nie wiem jak zastosować definicje do tego zadania

Krzysiek: szukasz problemu tam gdzie go nie ma... bierzesz notatki z wykładu, szukasz tej definicji, uczysz się jej i na egzaminie ją piszesz lub mówisz i koniec. Definicji nie możesz rozwiązać...

Kamil: Tego przykładu nie mam w notatkach

Kamil: To jakoś trzeba chyba dopasować do ogólnej definicji

Trivial: http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa#Definicja

Trivial: K = R i tyle.

Kamil: A do tych definicji mam podstawiać jakieś inne literki czy mają byc takie same?

Janek191: Zbiór wektorów swobodnych w przestrzeni euklidesowej jest przestrzenią liniową , jeżeli działaniem wewnętrznym jest dodawanie wektorów, a działaniem zewnętrznym − mnożenie wektora przez skalar ( liczbę ) , przy czym ciałem K jest zbiór R liczb rzeczywistych. ( V, + , R , * ) − przestrzeń liniowa nad R −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Każde ciało jest przestrzenią liniową nad samym sobą. Wtedy działanie wewnętrzne utożsamia się z dodawaniem w ciele, a działanie zewnętrzne utożsamia się z mnożeniem w ciele ( będącym , jak wiemy, działaniem wewnętrznym ). ( R, + , R , * ) − przestrzeń liniowa nad ciałem R liczb rzeczywistych.

Kamil: Czyli przed zadaniem mam napisać: dodawaniem wektorów: V x V→ V oznaczanym v + w gdzie v, w ∊ V i mnożnikiem przez skalar R x V → V oznaczamy av gdzie a ∊ R oraz v ∊ V?

Janek191: Do kogo to pytanie ?

Kamil: Do Was

Janek191: Do pierwszego przykładu − tak . mnożeniem przez skalar

Kamil: od 1 do 4 aksjomatu jest dodawanie wektorów, a później mnożenie przez skalar. Ale nadal nie wiem czy mam coś w definicji zmieniać czy przepisywać wszystko? i jak w mnożeniu pojawi się np a ∊K to mam zmienić na a ∊ R? i to tyle ?

Janek191: ( V, + , R , * ) − przestrzeń liniowa nad ciałem R jeżeli ( V , + ) − grupa abelowa ( warunki 1 − 5) ( V, R, * ) − zbiór V wyposażony w działanie zewnętrzne nad ciałem R 6) ( a , v ) i→ a v ∊ V , a ∊ R, v ∊ V Oba działania spełniają 4 warunki zgodności : 7) a*( v + w ) =a v + a w 8) ( a + b) v = a v + b v 9) a( b v) = ( ab) v 10) 1*v = v

Kamil: I tak się rozwiązuje te zadanie?

Janek191: O godz. 00.12 podałem 2 przykłady przestrzeni liniowych nad ciałem liczb rzeczywistych R. Można podać więcej − gdy ( V , + ) będzie grupą abelową ,a ponadto będą spełnione warunki 6 − 10

Kamil: Ja już mam tak namieszane w głowie że nie wiem jak zrobić zadanie: Podaj definicje przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych.

Janek191: Grupa abelowa ( V , + ) 1) v + w ∊ V ( wewnętrzność działania dwuargumentowego + ) 2) ( v + w) + u = v + ( w + u ) ( łączność dodawania w V ) 3) 0 + v = v + 0 = v ( istnienie elementu neutralnego w V ) 4) ( − v ) + v = 0 ( istnienie elementu przeciwnego ) 5) v + w = w + v ( przemienność dodawania w V ) −−−−−−− 0 − element neutralny , 0 ∊ V

Janek191: ( V , + , R, * ) − przestrzeń liniowa nad ciałem R gdy ( V, + , R, * ) spełnia warunki przestrzeni liniowej. Zamiast K piszemy R

Kamil: a mnożenia przez skalar nie trzeba?

Janek191: Wydaje mi się, że to co napisałem o godz. 1.03 jest definicją przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Oczywiście , jeżeli ( V , + , R, * ) jest przestrzenią liniową nad ciałem R. Warunki na przestrzeń liniową podałem o 1.00 ( 1 − 5) i o 00.41 − warunki ( 6 − 10 )

Kamil: Dobra, dzięki za pomoc i poświęcenie.

Janek191: Wydaje mi się , że o 1.03 podałem definicję przestrzeni liniowej na ciałem liczb rzeczywistych R. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Warunki przestrzeni liniowej : ( 1 − 6) − grupa abelowa ( 7 − 10) Podałem o 00.41 i o 1.00