Funkcja wymierna Krezz: Wyznacz te wartości parametru m dla których zbiór rozwiązań nierówności

	x2+m2
		≥1zawiera przedział <−1,1>
	2m(x+6)

PW: Z powodu mianownika x ≠ −6 i m ≠ 0. Skoro do zbioru rozwiązań należy liczba 0, to

	02 + m2
		≥ 1,
	2m(0+6)

	m2
		≥ 1.
	12m

Wnioski: 1) m jest liczbą dodatnią, 2) m ≥ 12. Odejmijmy stronami liczbę 1:

	x2+m2
		− 1 ≥ 0
	2m(x+6)

	x2−2mx+m2−12m
		≥ 0
	2m(x+6)

	(x−m)2−12m
		≥ 0
	x+6

(mnożenie obu stron przez 2m było dopuszczalne z uwagi na wniosek 1). Dla x > −6 mamy więc nierówność (1) (x−m)²−12m ≥ 0, m ≥ 12, x∊(−6,∞) x−m ≤ −√12m ∨ x−m ≥ √12m (1') x < m −√12m ∨ x ≥ m+√12m, m ≥ 12, x∊(−6,∞) a dla x < −6 nierówność, która nas nie interesuje z uwagi na fakt, że dziedzina nie zawiera przedziału <−1,1>. Rozwiązaniem drugiej z nierówności (1') jest przedział nie zawierający przedziału <−1,1>. Inetresuje nas tylko nierówność x < m −√12m, m ≥ 12, x∊(−6,∞), której rozwiązaniem powinien być przedział zawierający <−1,1>. Będzie tak, gdy 1 ≤ m − √12m, m ≥ 12, to znaczy gdy √12m ≤ m −1, m ≥ 12 12m ≤ m²−2m+1, m ≥ 12 0 ≤ m²−14m+1, m ≥ 12 Δ = 196−4 = 192, √Δ=8√3, rozwiązaniami nierówności spełniającymi warunek m≥12 są

	14+8√3
m ≥		= 7+4√3.
	2

Nie wiem czy jest to dobry sposób rozwiązania (zawiły bardzo), ale nie widzę na razie nic lepszego

Krezz: Dziękuje, ale rzeczywiście bardzo zawiłe może ma ktoś jakiś inny sposób?

Studzekisiel: Ponawiam, widzi ktoś tu jakiś inny pomysł?

PW: A może przygotowujesz się do matury na poziomie rozszerzonym? Na początek spróbuj znaleźć błąd w tym co napisałem − to najlepszy sposób zrozumienia (może się mylę). Albo np. weź m=14, rozwiąż nierówność i powiedz: lipa, rozwiązanie nie zawiera przedziału <−1, 1>.

Krezz: Tak, przygotowuję się Przed chwilą to przepisałem w miarę ze zrozumieniem i myślę że nawet ok. Ale poszukam teraz błędu, zaraz dam znać

Krezz: Tak, przygotowuję się Przed chwilą to przepisałem w miarę ze zrozumieniem i myślę że nawet ok. Ale poszukam teraz błędu, zaraz dam znać

Lorak: Może tak, ale też nie mam pewności czy dobrze:

x2+m2
	≥ 1
2m(x+6)

licznik jest dodatni, więc żeby nierówność miała jakieś rozwiązania, to mianownik też musi być dodatni. Można więc pomnożyć przez 2m(x+6). Dostajemy: x²−2mx+m²−12m ≥ 0 a skoro w zbiorze rozwiązań tej nierówności mac być zawarty przedział <−1,1>, to 1) gdy Δ ≤ 0, to zawsze tak będzie. 2) Δ>0 x_w < −1 i f(−1)≥0 lub x_w > 1 i f(1)≥0 Ale jak mówię, głowy za to nie dam.

Krezz: Przejrzałem i jak teraz patrzę to mam dwie uwagi 1) Można sobie tak podstawić 0?(nie wiem poprostu nie wiem czy to błąd 2) Może trzeba rozpatrzyć jeszcze przypadek m−√12m≥−1 (ale tego też nie jestem pewien)

Krezz: Podejście Loraka wydaje mi się dobre

PW: Też mi się bardziej podoba niż moje, ale trzeba ostrożnie wnioskować: nierówność kwadratowa (*) x² − 2mx + m² −12 m ≥ 0 nie jest równoważna badanej nierówności wymiernej. Już założyliśmy, że m(x+6) > 0, więc przy takim założeniu trzeba rozwiązywać (*), a właściwie odpowiadać na pytanie − dla jakich wartości parametru m rozwiązanie nierówności (*) zawiera przedział <−1,1>.

Krezz: No tak, czyli ta 1) i 2) Loraka były dobre? Jeżeli nie to jakie?

PW: Na pytania z 18:46: 1) oczywiście można podstawić dowolną liczbę z przedziału <−1,1> − przecież wszystkie należeć mają do rozwiązania; wybrałem zero, bo uzyskujemy dzięki temu informację o m. Rozumowanie jest takie: jeżeli 0 ma być rozwiązaniem, to musi być m≥12, w dalszych krokach z tego korzystam. 2) nie trzeba rozpatrywać m−√12m ≥ −1, skoro już zapewniliśmy, że ≥ 1. To jest nierówność liniowa x < m−√12m − jeżeli spełnia ją prawy kraniec przedziału − liczba 1 − to i pozostałe liczby z tego przedziału.

Krezz: Aaa ok, właśnie poprostu nie byłem pewien. Czyli zrobić to tak jak mówił Lorak?

Lorak: Zrób, tak jak mówi PW. Mój pomysł trzeba jeszcze dopracować Dzięki PW za komentarz

Krezz: PW to w takim razie skończę to już Twoim sposobem, tylko powiedz mi gdzie tam był błąd

Krezz: Wie ktoś może jaki był ten błąd w rozwiązaniu PW

PW: Mój kolega miał pisać pracę magisterską z teorii miary. Promotor dał mu niewielką książkę z tego tematu i powiedział: − Tutaj są błędy. Niech pan kolega je znajdzie. Rzeczywiście jakiś niewielki błąd po kilku dniach znalazł. Promotor powiedział: − Panie kolego, niech pan jeszcze szuka. Chłopak znalazł jeszcze jeden błąd. Promotor wtedy: − No to już może pan przystąpić do pisania pracy magisterskiej. Zaproponował mu temat, kolega napisał całą pracę w tydzień. To anegdota, a co do błędu, to powiem tak: − Nie wiem, swoich błędów zazwyczaj się nie widzi. Skoro pan kolega też nie widzi, to jest szansa, że nie ma błędu. Należy jednak zachować pokorę.

Krezz: Ok rozumiem, w każdym razie bardzo dziękuję za pomoc

zawodus:

zawodus: masz jakąś odpowiedź do tego?

zawodus: Wg mnie błędu nie ma Ten pomysł z zerem jak dla mnie nie potrzebny

matyk: Wg mnie jest ok. Pomysł z zerem wg mnie nie potrzebny