Wypukłość
Kasia: Wyznaczyć przedział wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji
a) f(x)=xln(9x−1)
b) f(x)=xln (4x−1)
20 lut 13:16
wredulus_pospolitus:
no i .... w czym tkwi problem
20 lut 13:17
Dżej: czy pierwsza pochodna wygląda tak?
20 lut 17:09
sushi_ gg6397228:
nie, bo tam jest pochodna iloczynu
20 lut 17:14
Dżej: a w ten sposób to czytać, czyli tak:
| | 9x−1 | |
f'(x)=1x * (9x−1) + 9xln = |
| + 9xln ? |
| | x | |
Tak się zainteresowałem, bo szukam zadań z badania funkcji
20 lut 17:24
sushi_ gg6397228:
dalej źle
g(x)= x
g' (x)=...
h(x)= ln (9x−1)
h'(x)=...
(g*h)'= .....
20 lut 17:30
Dżej: g
'(x)= 1
| | 1 | |
(g*h)'= 1* ln(9x−1) + |
| *9*x |
| | (9x−1) | |
20 lut 17:35
kasia: No właśnie też mi to źle wychodzi i się gubię. Sushi możesz to rozpisać
20 lut 17:35
sushi_ gg6397228:
i jest OK
20 lut 17:39
Dżej: a f
"(x)?
| | 1 | | 9(9x−1)−9*9x | |
f"(x) = |
| * 9 + |
| ? |
| | (9x−1) | | (9x−1)2 | |
20 lut 17:49
sushi_ gg6397228:
jeszcze porzadki w liczniku (drugi ułamek) i moze wspolny mianownik
20 lut 17:55
Kasia: a czy tam nie powinno być
| | 1 | |
(g*h)'= ln(9x−1) + x* |
| *9*x |
| | (9x−1) | |
Co w rezultacie w drugim liczniku da nam 9x
2
20 lut 18:09
sushi_ gg6397228:
"x" stoi już przy 9
20 lut 18:16
Kasia: lub też h' nie powinno być bez tego x na końcu
bo korzystamy ze wzoru g' * h + g * h'
20 lut 18:16
sushi_ gg6397228:
| | 1 | |
h '= |
| * 9 −−> tak to powinno wyglądać |
| | 9x−1 | |
20 lut 18:17
Kasia: ok. No właśnie to mi dobrze wyszło.
A jeszcze jeden przykład mam
f(x)= xln(4x−1)
robię go i wrzucę wynik. Byłabym wdzięczna jakbyś mógł sprawdzić mi za chwilę czy dobrze mam
20 lut 18:20
Kasia: | | 4x | |
f(x)' = ln(4x−1) + |
| |
| | 4x−1 | |
| | 1 | | 4(4x−1)−(4x*4) | |
f(x)''= |
| *4 + |
| |
| | (4x−1 | | (4x−1)2 | |
20 lut 18:29
sushi_ gg6397228:
ok
porzadki i potem wspolny mianownik −−> II pochodna
20 lut 18:32
Kasia: tak tak dalej to już wiem wszystko
a mam prośbę jeszcze bo nie mogę sobie poradzić
limx→π2 (tgx)cosx
20 lut 18:35
sushi_ gg6397228:
f(x)= e ln f(x)
20 lut 18:37
wredulus_pospolitus:
objaśnie to co sushi napisał
skorzystaj z przekształcenia:
ab = eln (ab) = eb*lna
'wejdź z granicą do potęgi' i licz z (najprawdopodobniej) reguły de'Hospitala
20 lut 18:40
Kasia: mam pytanie czy dobrze odczytuje
wypukłość (12 , +∞)
20 lut 18:46
Kasia: wklęsła ( −∞, 12)
20 lut 18:47
sushi_ gg6397228:
do którego zadania ?
20 lut 18:48
Kasia: czyli
e
cosln(tgx)
dobrze rozumuje
20 lut 18:55
Kasia: do tego
xln(4x−1)
20 lut 18:56
Kasia: a będzie
czy przekombinowałam
20 lut 18:58
sushi_ gg6397228:
| | +−∞ | |
tak, cosinus trzeba spuścić do dołu aby było |
| |
| | +−∞ | |
20 lut 19:00
sushi_ gg6397228:
wypukła i wklęsła jest ok
20 lut 19:02
sushi_ gg6397228:
a−−> trzeba porzadki zrobic
20 lut 19:03
20 lut 19:20
20 lut 19:24
sushi_ gg6397228:
zgadza się
b=....
20 lut 19:29
Kasia:
co by nam dało
a/b = sinxcosx
20 lut 19:32
sushi_ gg6397228:
źle; jeszcze raz
20 lut 19:35
Kasia: czyli lim...=e0
chyba coś pokręciłam
20 lut 19:35
20 lut 19:40
20 lut 19:41
20 lut 19:48
sushi_ gg6397228:
zgadza sie
20 lut 19:50
20 lut 19:55
20 lut 19:56
sushi_ gg6397228:
i sprawdzamy granice
wynik to ...
20 lut 19:56
Kasia: e0 = 1
20 lut 19:58
sushi_ gg6397228:
bingo
20 lut 19:59
Kasia: ok dzięki wielkie. Masz jeszcze chwilę na inne zadanie
20 lut 20:00
sushi_ gg6397228:
tak
20 lut 20:00
Kasia: wyznaczyć monotoniczność i ekstrema lokalne
20 lut 20:05
Kasia: x tam jest x2
20 lut 20:05
Kasia: i teraz
g(x)= x−2
h(x)= x2 czy ex2
20 lut 20:09
sushi_ gg6397228:
to znowu
g= e
x2
g'=...
h= x
2
h'=...
20 lut 20:10
20 lut 20:16
sushi_ gg6397228:
mianownik h2 a nie h ' 2
20 lut 20:20
Kasia: czyli x4
20 lut 20:21
Kasia: i co wracamy do początku i podstawiamy za g(x) x
−2 a za h e
x2
20 lut 20:25
sushi_ gg6397228:
wiec jeszcze raz
na potrzeby zadania nie bedziemy "kasować x", i tylko zajmiemy sie licznikiem i rysowaniem węża
20 lut 20:26
Kasia: pogubiłam się
20 lut 20:27
sushi_ gg6397228:
o 20.16 robimy korekte i mamy juz pochodna policzona
20 lut 20:29
Kasia: dobra już chyba wiem o co chodziło
| ex2 | |
| i od tego pochodną iczymy |
| x2 | |
20 lut 20:30
sushi_ gg6397228:
tak
20 lut 20:31
Kasia: ok czyli x1 to 1 a x2 to −1
20 lut 20:34
sushi_ gg6397228:
x3= 0
kółko otwarte
robimy fale i podajemy przedzialy monotonicznosci
20 lut 20:36
Kasia: ok to dalej wiem
to jak cię nie znudziłam to następny przykład
f(x)= x√8x−x2
20 lut 20:38
Kasia: g(x) = x
h(x) pierwiastek
20 lut 20:39
sushi_ gg6397228:
to dzisiaj było w innym watku
i poszło o Wolfram'a
20 lut 20:41
Kasia: tak ale ja nie wiem co to za program
tak mi wychodzi z liczenia i nie wiem co dalej robić i czy dobrze robię
bo napisanie że tak w programie wychodzi niczego mi nie wyjaśnia
20 lut 20:42
sushi_ gg6397228:
to zapisuj obliczenia
20 lut 20:45
20 lut 20:46
sushi_ gg6397228:
tak
20 lut 20:48
Kasia: x1=0 i x2= 6
20 lut 20:51
sushi_ gg6397228:
zapisz dalej, jak wyglada; bo MZ do bani
20 lut 20:51
sushi_ gg6397228:
MZ sa OK
20 lut 20:52
Kasia: i z mianownika jeszcze x3=8
20 lut 20:52
20 lut 20:53
Kasia: jesteś jeszcze czy masz mnie już dość?
To trzecie miejsce zerowe też będzie czy już nie
20 lut 20:59
sushi_ gg6397228:
teraz trzeba dziedzine ustalic i dopiero podac przedzialy
x1= 0, x2= 6 + załozenia + rozpatrzec mianownik do rysowania fali
20 lut 20:59
Kasia: ok
a wcześniej zacząłeś mi pomagać jeszcze przy jednym zadaniu
f(x,y)= 3x2−x3y2+y2−3x
wychodzi mi
−3x2y2+6x−3=0
2x3y+2y=0 czyli 2(3xy+y)=0
20 lut 21:02
sushi_ gg6397228:
wiec tylko zostanie przedzial
(0; 6) −−> dodatni
(6; 8) −−> ujemny
choć dla x=0 f(0)= 0, bo dziedzina (0; 8) −−> z pochodnej
20 lut 21:02
Kasia: chyba od początku przepiszę bo potęgi wcięło
20 lut 21:04
sushi_ gg6397228:
podalem, co trzeba zrobic z drugim
20 lut 21:05
Kasia: tak ale wyciągając przed nawias z 2
otrzymamy
x3=1
czyli x=1
20 lut 21:07
Kasia: przepraszam −1
20 lut 21:08
sushi_ gg6397228:
przed nawias 2y
y=...
x=...
20 lut 21:08
Kasia: czyli y=−√3
20 lut 21:09
Kasia: czyli
(x0,y0)=(−1, −√3
20 lut 21:10
sushi_ gg6397228:
Cytuje Ciebie:
f(x,y)= 3x2−x3y2+y2−3x
wychodzi mi
−3x2y2+6x−3=0 / (−3)
2x3y+2y=0 czyli 2y(x3+1)=0
z drugiego:
y=0
x= −1
20 lut 21:12
sushi_ gg6397228:
co za ściema z tym y= −√3
20 lut 21:14
Kasia: liczyłam drugi raz i mi nie wyszło tak
20 lut 21:15
Kasia: a podstaw do pierwszego i nie wychodzi
20 lut 21:17
sushi_ gg6397228:
dla x= −1 y nie istnieje
dla y=0 x=...
20 lut 21:18
Kasia: za ten ujemny pierwiastek to powinnam się schować
20 lut 21:21
sushi_ gg6397228:
wiec mamy tylko jeden punkt
20 lut 21:22
sushi_ gg6397228:
i teraz z pierwszego
y2 * x2 − 2x +1=0 −−>Δx=...
20 lut 21:24
Kasia: czyli liczymy teraz
20 lut 21:25
Kasia: czyli Δx=4−4y2
20 lut 21:28
Kasia: szczerze powiem że tak nie mieliśmy na zajęciach tylko tak jak pisałam
20 lut 21:29
sushi_ gg6397228:
poza tym mnie oszukalas przy pochodnej po "y"
f' y= −2x3 y +2y = 2y( 1−x3) −−−> y=0 lub x= 1
20 lut 21:29
sushi_ gg6397228:
bo pochodne mieszane musza byc takie same, a nie wyszly Tobie
20 lut 21:30
sushi_ gg6397228:
wiec od nowa pisz f(x)=...
f'x=...
f'y=....
i "podejrzane punkty"
20 lut 21:30
Kasia: o kurde rzeczywiście
poprawiam i liczę od tego momentu jeszcze raz
20 lut 21:31
Kasia: czyli teraz się zmienia
mamy dla x=1 y=
√3
20 lut 21:36
Kasia: i co teraz
20 lut 21:37
sushi_ gg6397228:
źle
x=1
y= .... lub y=....
20 lut 21:40
Kasia: y=1 lub y=−1
20 lut 21:42
Kasia: coś mi ten √3 chodzi po głowie cały czas
20 lut 21:43
sushi_ gg6397228:
zatem mamy 3 punkty;
teraz drugie pochodne −−> są :
20 lut 21:44
Kasia: 6−6xy2
−6x2y
−2x3+2
−6x2y
20 lut 21:47
sushi_ gg6397228:
zgadza się
20 lut 21:51
Kasia: i teraz liczyć wyznacznik Wa
20 lut 21:52
sushi_ gg6397228:
trzeba, aby sprawdzic czy jest >0 czy nie ( bez podstawiania "x" i "y")
20 lut 21:55
Kasia: rozumiem że wszystko wymnażać przez siebie
20 lut 21:59
sushi_ gg6397228:
lub moze liczyc dla konkretnego punktu−−> beda tylko liczby ( wtedy trzeba 3 wyznaczniki
liczyc)
20 lut 22:00
Kasia: −12(2x4y32+x3+xy2−1)
20 lut 22:01
Kasia: czemu 3
x
0,y
0=1,1 lub 1, −1
20 lut 22:02
20 lut 22:04
sushi_ gg6397228:
bez wymnazania wyjdzie szybciej i łatwiej do liczenia
podstawiaj punkty do pochodnych i dopiero potem licz wyznacznik
20 lut 22:04
Kasia: a no tak, i co teraz podstawiamy dopiero te punkty
jak tym pierwszym sposobem robiłam
20 lut 22:05
sushi_ gg6397228:
bo tam nie wiem czy dobrze wymnozylas i sie nie pomylisz z obliczeniami
dla punktu
W= .... f ' '
xx=...
20 lut 22:07
Kasia: dla (1,1) wyszło −36 czyli brak
dla (1, −1) wyszło 36 czyli jest
| | 1 | | 21 | |
dla ( |
| wyszło |
| też jest |
| | 2 | | 2 | |
a jak poznać gdzie max i gdzie min
20 lut 22:10
sushi_ gg6397228:
oszukujesz
dla (1,1) i (1; −1) wychodzi tyle samo W = −36
20 lut 22:13
Kasia: ojjj tak tam jest odejmowanie
czyli dla punktu (12 jest max tak
20 lut 22:14
sushi_ gg6397228:
trzeci punkt ok
| | 1 | |
jeszcze f ''xx ( |
| ; 0)=... |
| | 2 | |
20 lut 22:14
sushi_ gg6397228:
otwieramy notatki i wypisujemy warunki
max dla ....
min dla ....
20 lut 22:15
Kasia: 6
20 lut 22:15
Kasia: max większe od 0
min mniejsze od 0
20 lut 22:16
Kasia: Mam jeszcze pytanie mam drugi przykład wydaje się być prosty
f(x,y)= x+2y gdy x
2+2y2=3
w którym momencie trzeba wykorzystać ten warunke
20 lut 22:18
sushi_ gg6397228:
jak masz y= x2 −−> y ' ' = 2 > 0 i mamy MINIMUM ( PARABOLA UŚMIECHNIĘTA)
jak masz y= −x2 −−> y ' ' = −2 < 0 i mamy MAKSIMUM ( PARABOLA SMUTNA)
ZNOWU MNIE KANTUJESZ
20 lut 22:19
Kasia: ja mam w notatkach że jeżeli
U{d2f}{dx2) (x0,y0)<0 to jest max a jeżeli >to min
20 lut 22:22
Kasia: czyli mamy minimum
20 lut 22:23
sushi_ gg6397228:
to zobacz co zapisałaś o 22.16 , a co o 22.22
20 lut 22:24
Kasia: odwrotnie. przepraszam
20 lut 22:26
Kasia: a Podpowiesz mi z tym drugim
20 lut 22:28
sushi_ gg6397228:
zapisz co trzeba zrobic, bo widze jedna funkcje i jakies rownanie
20 lut 22:29
Kasia: wyznaczyć ekstremum lokalne funkcji
f(x,y)=x+2y gdy x2+2y2=3
20 lut 22:30
sushi_ gg6397228:
to nie jest to samo, bo jest warunek
20 lut 22:34
Kasia: jakaś podpowiedź jak to zrobić
20 lut 22:37
20 lut 22:53
Kasia: będziesz może jeszcze lub zerkniesz jutro
Ja postaram się zrobić i wrzucę tutaj jakbyś mógł sprawdzić
20 lut 22:54
Kasia: x=−1
y=−1
λ=12
20 lut 23:11
sushi_ gg6397228:
| | −1 | |
a wersja dla lamby = |
| ? |
| | 2 | |
20 lut 23:19
Kasia: x=1 i y=1
20 lut 23:20
Kasia:
0 2x 4y
H= 2x 4 1
4y 1 2
20 lut 23:21
sushi_ gg6397228:
i licz wyznacznik
20 lut 23:21
Kasia: 8(−x2−8y2+2xy)
20 lut 23:27
sushi_ gg6397228:
znowu kantujesz
skad druga pochodna po xx daje 4 ?
20 lut 23:28
Kasia: dla jednego i drugiegopunktu wyszło mi −56
20 lut 23:29
sushi_ gg6397228:
pochodne mieszane daja 0, a nie 1
20 lut 23:30
Kasia: dobra całe jest źle bo źle spisałam
20 lut 23:31
Kasia: 0 2x 4y
2x 2λ 0
4y 0 4λ
20 lut 23:35
sushi_ gg6397228:
i teraz liczymy
20 lut 23:35
Kasia: czyli
−16λ(x2+2y2)
20 lut 23:36
sushi_ gg6397228:
tak
20 lut 23:37
Kasia: dla −1,−1,12 = − 24
dla 1,1, −12 = 24
20 lut 23:38
sushi_ gg6397228:
tak
20 lut 23:38
Kasia: czyli dla 24 jest
20 lut 23:39
Kasia: czyli liczymy teraz
20 lut 23:40
sushi_ gg6397228:
jest dla obu, wg linku , co podałem wcześniej
20 lut 23:41
Kasia: jeżeli H(P)>0 to mamy maksimum w P(x,y)
jeżeli H(P)<0 to mamy minimum
czyli max w punkcie (−1,−1)
a min w pkt(1,1)
20 lut 23:43
Kasia: odwrotnie
20 lut 23:44
Kasia: min w (−1,−1) a max w 1 1
20 lut 23:45
20 lut 23:45
sushi_ gg6397228:
o 23.45 jest OK
20 lut 23:46
Kasia: i je się podaje tylko że w tych punktach osiąga czy jeszcze wyicza
20 lut 23:48
sushi_ gg6397228:
zawsze trzeba wyliczyć, to prowadzący się nie przyczepi
20 lut 23:49
Kasia: wychodzi mi 0 dla obu
20 lut 23:53
Kasia: wracamy do tego
dfdx=1+2xλ
20 lut 23:54
Kasia: dobra wychodzi −1 i 1
20 lut 23:55
sushi_ gg6397228:
f(1;1)= 1+2= 3
f(−1; −1)= −3
20 lut 23:56
Kasia: acha czyli się cofamy do samego początku zadania
20 lut 23:59
Kasia: jeszcze mam jedno zadanie ale nie będę cię zamęczała już. I tak mi poświęciłeś kilka godzin za
co jestem ogromnie Tobie wdzięczna
21 lut 00:01
sushi_ gg6397228:
na zdrowie
21 lut 00:05