wielomian jacuś: Dany jest wielomian postaci W(x)=x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x³+a₄x²+a₅x wiadomo że W(1)=2 W(2)=4 W(3)=6 W(4)=8 oblicz W(5) w tym nie mam pojęcia

Jolanta: podstaw za x 1 wynik=2 x=2 wynik =4 itd wyjdzie ukłąd równań

jacuś: tylko jak mam rozwiązać taki straszny układ?

ZKS: Jolanta nie tędy droga. Na pewno tam masz ... + a₂x³ + a₃x³ + ...

Jolanta: też tak patrzę,ze kiepsko toliczenie by wyglądało

jacuś: powinno być x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x Mila w żaden sposób nie mogę ich powiązać

ZKS: Twój wielomian to W(x) = 2x.

ZKS: W(x) = x⁵ + a₁x⁴ + a₂x³ + a₃x² + a₄x W(x) = x * Q(x) gdzie Q(x) = x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ W(1) = 2 ⇒ Q(1) = 2 W(2) = 4 ⇒ 2 * Q(2) = 4 ⇒ Q(2) = 2 W(3) = 6 ⇒ 3 * Q(3) = 6 ⇒ Q(3) = 2 W(4) = 8 ⇒ 4 * Q(4) = 8 ⇒ Q(4) = 2. Widać że Q(x) jest stałe Zatem W(5) = 5 * Q(5) = 5 * 2 = 10.

Trivial: ZKS, nie może być 2x, bo jest x⁵ na początku.

Ajtek: No właśnie x⁵ na początku jest

Mila: Oj, źle zobaczyłam.

jacuś: Gdyby było Takie jak tamto to bym wiedział

ZKS: Upsss... Zaraz naprawię to co nabroiłem.

Trivial: Wielomian W(x) ma postać W(x) = x⁵ − 10x⁴ + 35x³ − 50x² + 26x → W(5) = 130 Ale zastanawiam się jak do tego dojść mniej "na chama".

ZKS: Trivial liczyłeś przez interpolację ten wielomian?

Trivial: Tak, wolframem.

ZKS: Mi się nie mieściło i do Mathcada musiałem wpakować.

jacuś: taki mam wynik Jak to zrobić w liceum?

Mila: 130.?

jacuś: Tak taką mam odpowiedź od mojej nauczycielki

ZKS: Tak.

ICSP: Oznaczmy : W(5) = M dla ułatwienia wprowadzę oznaczenie: (x₀ , x₁ , x₂ , x₃ , x₄ , x₅ ) = (0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5) oraz (y₀ , y₁ , y₂ , y₃ , y₄ , y₅) = (0 , 2 , 4 , 6 , 8, M) widzimy, że W(5) = M Stosując interpolacje wielomianową :

	x−1		x−2		x−3		x−4		x−5
L0(x) =		*		*		*		*		=
	−1		−2		−3		−4		−5

pewny wielomian stopnia V
−120

Zauważmy, ze wielomian w liczniku będzie miał współczynnik przy najwyższej potędze równy 1

	pewny wielomian stopnia V
L1(x) =
	24

	pewny wielomian stopnia V
L2(x) =
	−12

	pewny wielomian stopnia V
L3(x) =
	12

	pewny wielomian stopnia V
L4(x) =
	−24

	pewny wielomian stopnia V
L5(x) =
	120

w(x) = y₀ * L₀ + ... + y₅ * L₅ Porównując współczynniki przy najwyższej potędze dostajemy :

	1		1		1		1		1		1
1 = 0 *		+2 *		+ 4 *		+ 6 *		+ 8 *		+ M *
	−120		24		−12		12		−24		120

	1		1		1		1		M
1 =		−		+		−		+
	12		3		2		3		120

120 = 10 − 40 + 60 − 40 + M M = 130 = W(5)

Trivial: ICSP, chyba nie chodziło o interpolację wielomianową.

Trivial: Ja mam sposób z różnicami skończonymi (obliczeniowo trywialny), ale to też nie jest na poziomie liceum.

Saizou : uproszczę sobie życie pisząc a₁=a a₂=b a₃=c a₄=d W(x)=x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx=x(x⁴+ax³+bx²+cx+d) V(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d, zatem V(1)=V(2)=V(3)=V(4)=2 V(x)=(x−1)*P(x)+2 V(2)=(2−1)*P(2)+2=2 ⇒P(2)=0 V(3)=(3−1)*P(3)+2=2⇒P(3)=0 V(4)=(4−1)*P(4)+2=2⇒P(4)=0 zatem wielomian P(x) jest st. 3 skoro P(x) dla x=1 x=2 x=3 to P(x)=(x−2)(x−3)(x−4) wstawiając do V(x) V(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+2 czyli W(x)=x[(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+2] W(5)=5(4*3*2*1+2)=130

ZKS: .

ZKS: A wystarczyło trochę pomyśleć wszędzie teraz widzę sposoby ze studiów.

Mila: Po najlżejszej linii oporu: w(x)=x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx=x(x⁴+ax³+bx²+cx+d) Układ równań. a+b+c+d=1 8a+4b+2c+d=14 27a+9b+3c+d=−79 64a+16b+4c+d=−254 a=−10, b=35, c=−50 d=26 No i tak jak u Triviala. myślę nad innym sposobem ZKS, czy poprzednie dobrze? Teraz mam zasiane ziarno niepewności.

Saizou : *zatem wielomian P(x) jest st. 3 skoro P(x) dla x=1 x=2 x=3 jest równe 0 to:

ZKS: Mila chyba też źle bo teraz zauważyłem że źle liczyłem ze tego wzoru interpolacyjnego.

ZKS: Za chwilę policzę to na spokojnie z Wolframem i powiem czy na pewno.

zawodus: Rozwiązanie Saizou poprawne ale strasznie zagmatwane Można je skrócić o 2/3

Saizou : moje rozwiązanie ma 14 wersów, dla ładnych rachunków przyjmę że 15, zatem Twoje rozwiązanie zawodus ma mieć 5 wersów maksymalnie

zawodus: spoko wystarczy mi 3 krótkie

Saizou : już jestem ciekaw xd

zawodus: tylko dzisiaj mi bateria nie wytrzyma w telefonie wrzucę rano z kompa

zawodus: chyba że masz ładowarkę

Saizou : to po południu sprawdzę

zawodus: Ok. Może do tego momentu ktoś je poda przede mną

PW: O 22:35 ZKS był bardzo blisko − wielomian Q przyjmuje wartość 2 w czterech punktach, a więc Q(x) − 2 ma cztery miejsca zerowe (liczby 1, 2, 3 i 4). Wniosek był zły: nie jest stały, lecz Q(x) − 2 = ...

Trivial: To może przedstawię swoje rozwiązanie z różnicami skończonymi. Korzystamy ze wzoru

	(ΔkW)(0)
W(x) = ∑k=0..n		xk, n = 5
	k!

Liczymy potrzebne wartości: x 0 1 2 3 4 5 W 0 2 4 6 8 A ΔW 2 2 2 2 A−8 Δ²W 0 0 0 A−10 Δ³W 0 0 A−10 Δ⁴W 0 A−10 Δ⁵W A−10 A zatem:

	A−10
W(x) = 2x +		x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)
	5!

	A−10
Współczynnik przy piątej potędze wynosi		i ma być równy 1, zatem:
	5!

A = 5! + 10 = 120 + 10 = 130 = W(5).

ZKS: Według mnie wystarczy zauważyć że wielomian W(x) można zapisać jako W(x) = x * Q(x) gdzie Q(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + 2 ponieważ Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 2 W(x) = x * [(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + 2].

ZKS: Widzę że się spóźniłem.

Trivial: PW, ZKS no tak! A ja się męczę z jakimiś różnicami skończonymi.

ZKS: Trivial to wszystko przez studia wszędzie się widzi jakiś podstęp i próbuje się używać "armaty na muchy". Mogę iść spokojnie spaciulki. Dobrej nocy życzę PW i Trivial.

Trivial: Dobrej nocy.

zawodus: Lub od razu Q(x)=W(x)−2x i mamy, że Q(x)=x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) Teraz wystarczy podstawić W(x)=Q(x)+2x ⇒ W(9)=130 zmieściłem się w obiecanych trzech linijkach

Saizou :

Mila: Uwaga PW ważna!