Wklęsłość, wypukłość i punkty przegięcia M: Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia.

	x2+x−6
f(x)=
	x2−1

Gubię się w swoich wynikach (szczególnie przy liczeniu drugiej pochodnej), dlatego bardzo proszę kogoś o rozwiązanie

Ajtek: Pokaż pierwszą pochodną.

M:

	−x2+10x−1
f(x)'=
	(x2−1)2

Ajtek: Okej. licz drugą, pokaż obliczenia.

M:

(−2x+10)(x2−1)−((−x2+10x−1)2(x2−1)2x))
(x2 − 1)4

Doszłam do tego momentu. Można teraz x²−1 wyłączyć przed nawias?

Ajtek: Zgubiłąś ² na początku: .....+10)(x²−1)²−..... Można, a nawet trzeba .

M: Ok, dziękuję

	(x2−1)(4x3−40x2+2x+10)
f(x)""=
	(x2−1)4

Czyli tak będzie wyglądać druga pochodna?

Ajtek: Chwila, muszę przeliczyć, a kolację w tej chwili wcinam .

M: Smacznego Znów zgubiłam x²−1. Obliczyłam drugą pochodną jeszcze raz. Tym razem wyszło:

	(x2−1)(2x3−30x2+6x−10
f(x)"=
	(x2−1)4

Ajtek: Też mi tak wyszło za pierwszym razem. Niepotrzebnie szukałem błędu .

M: Ok, to pozostaje wyznaczenie przedziałów wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia. Z pierwszego nawiasu wychodzi x=1 ⋁ x=−1 czyli nie ma punktu przegięcia, bo nie należy do dziedziny. A co z drugim nawiasem? 2x przed nawias i potem delta... która wychodzi dziwna

Ajtek: Jakie 2x przed nawias 2x³−30x²+6x−10=0 → wielomian stopnia trzeciego do rozwalenia Ja wychodzę, będę za jakąś godzinę. Nie możesz wyciągnąć 2x przed nawias, ponieważ masz na końcu −10 (bez "iksa").

M: Rzeczywiście, nie zauważyłam. 2x(x²+3)−10(3x²+1) x²+3=0 ∨ 3x²+1=0 x²=−3 sprzeczność 3x²=−1 sprzeczność Wychodzi na to, że nie ma punktów przegięcia. Zostało ostatnie − nie wiem, jaki z tego wniosek co do przedziałów wypukłości i wklęsłości

Ajtek: Wielbłąd Skąd to x²+3=0

M: Pierwszy nawias wzięłam z 2x³ i 6x Drugi z −30x² i −10 A jak powinno być?

Ajtek: Nie masz iloczynu koleżanko. 2x(x²2+3)−10(3x²+1) Masz różnicę dwóch iloczynów, nie możesz tak robić. Raz jeszcze liczę pochodną drugą, może gdzieś jednak zrobiliśmy błąd, ten wielomian jest paskudny.

M: Ok, poczekam I dziękuję za pomoc

Ajtek: Pochodna jest okej, sprawdź czy dobrze przepisałaś przykład.

M: Tak, jest dobrze przepisany.

Ajtek: Pierwiastki wychodzą paskudne.

Ajtek: Mam nadzieję, że dotrą za chwilę "posiłki" .

M: Oby Takie zadanie było na kolokwium i obawiam się, że na poprawie wcale nie będzie łatwiej.

ZKS: O co chodzi?

ICSP:

x2 + x − 6
	dla x ≠ ± 1 :
x2 − 1

x2 − 1 + x − 5		x − 5
	= 1 +
x2 − 1		x2 − 1

Chcę to rozbić na ułamki proste :

x − 5		A		B
	=		+		= //
x2 − 1		x−1		x+1

Po pomnożeniu i rozwiązaniu układu równań :

	3		2
// =		−
	x+1		x−1

Mamy :

	3		2
f(x) = 1 +		−
	x+1		x−1

zatem

	6		4
f''(x) =		−
	(x+1)3		(x−1)3

f''(x) = 0

6		4
	=
(x+1)3		(x−1)3

6(x−1)³ = 4(x+1)³ 3(x−1)³ = 2(x+1)^{3 3}√3(x−1) = ³√2(x+1) a to już jest równanie liniowe które rozwiąże przeciętny gimnazjalista.

Ajtek: O drugą pochodną. Liczyłem 3 razy i chyba się nie machnąłem. Ten wielomian jest straszny: 2x³−30x²+6x−10=0

Ajtek: ICSP jesteś Wielki. Przy wielomianach można na Tobie polegać .

ZKS: Wszystko jest dobrze. Też bym myślał w tę stronę co ICSP aby rozbić to na sumę ułamków.

Ajtek: Dużo przypominania jeszcze przede mną .

ZKS: Ale chyba później i nie wiem czy by tak pięknie wyszło jak u ICSP.

Ajtek: ZKS, a jak tam piosenki ode mnie, miałeś chwilę żeby przelecieć?

M: Wszyscy jesteście niesamowici Dziękuję pięknie!

Ajtek: Kolegów polecam na przyszłość . Powodzenia .