Wykaż, że równanie to ma jeszcze jeden pierwiastek. zaqwsx:

	√5−√3
Liczby a,b,c są liczbami wymiernymi i a nie może być 0.Liczba D=		jest
	√5+√3

rozwiązaniem równania ax²+bx+c=0. Wykaż, że równanie to ma jeszcze jeden pierwiastek.

Janek191: a x² + b x + c = 0

	− b − √Δ		√5 − √3
x =		=
	2a		√5 + √3

więc b = −√5 Δ = ( √3)² = 3 2a = √5 + √3 ⇒ a = 0,5√5 + 0,5 √3 oraz Δ = b² − 4a*c = 5 − 4*0,5( √5 + √3)*c = 3 5 − 2( √5 + √3)*c = 3 2(√5 + √3) *c= 2 (√5 + √3)*c = 1

	1		√5 − √3
c =		=
	√5 + √3		2

II pierwiastek :

	√5 + √3
x =
	√5 + √3

=========================

zaqwsx: Baaardzo dziękuję

pigor: ... lub np. usuwając niewymierność z mianownika D= ...= 1−√15, zatem musi istnieć pierwiastek sprzężony 1+√15, co łatwo wykazać . ..

pigor: ..., o kurcze , wyżej poprawka

	(√5−√3)2		8−2√15
D=		=		=4−√15 , więc
	5−3		2

pierwiastek sprzężony to oczywiście 4+√15

Domel: Zaraz − a początkowe założenie, że a, b i c są liczbami wymiernymi? Przecież b=−√5 jest niewymierne

Janek191: Równanie ma postać:

	√5 − √3
0,5( √5 + √3) x2 − √5 x +		= 0 / *2
	2

czyli ( √5 + √3) x² − 2√5 x + √5 − √3 = 0 =================================== spr. Δ = ( − 2√5)² − 4*( √5 + √3)*( √5 − √3) = 20 − 4*( 5 − 3) = 12 = 4*3 √Δ = 2 √3

	2√5 − 2√3		√5 − √3
x =		=
	2(√5 + √3)		√5 + √3

lub

	2√5 + 2√3		√5 + √3
x =		=		= 1
	2*( √5 + √3)		√5 + √3

Janek191: Zapomniałem o tym założeniu ! Trzeba dalej myśleć nad tym zadaniem

Janek191: Zapomniałem o tym założeniu ! Trzeba dalej myśleć nad tym zadaniem

wredulus_pospolitus: wykazanie istnienia sprzężenia jest wystarczające przecież

PW: Liczba D = 4−√15 jest rozwiązaniem równania ax²+bx+c = 0, to znaczy (1) a(4−√15)²+b(4−√15) + c = 0. Wynika stąd, że wyrażenie a(−8√15+b(−√15) = −√15(8a+b) występujące w (1) redukuje się do zera, gdyż liczby a, b, c są wymierne, a lewa strona musi być liczbą wymierną (zerem). Łatwo zauważyć (tu realizuję myśl pigora), że wówczas wyrażenie (2) a(4+√15)²+b(4+√15) + c nie różni się od lewej strony (1), gdyż występuje w nim √15(8a+b) = 0, a pozostałe składniki są identyczne. Wniosek: 4+√15 jest także rozwiązaniem równania ax²+bx+c. W ten sposób udało nam się w sposób jawny skorzystać z założenia o wymierności a,b,c.

Domel:

	c
1. xm * xn =
	a

	b
2. xm + xn = −
	a

3. ax_m² + bx_m + c = 0 4. ax_n² + bx_n + c = 0

	√5 − √3
Przyjmuję xm =		(xm bo nie wiem czy to x1 czy x2)
	√5 + √3

Z pkt 1.

	c		c		c
xm * xn =		=> xn =		=
	a		a*xm		√5 − √3   a*   √5 + √3

	c*(√5 + √3)
xn =
	a*(√5 − √3)

Z pkt 2.

	b
xm + xn = −
	a

√5 − √3		c*(√5 + √3)		b
	+		= −
√5 + √3		a*(√5 − √3)		a

a*(√5 − √3)2 + c*(√5 + √3)2		b
	= −
a*(5 − 3)		a

a*(√5 − √3)2 + c*(√5 + √3)2
	= − b
2

	a*(√5 − √3)2 + c*(√5 + √3)2
b = −
	2

Z pkt 3. ax_m² + bx_m + c = 0

	√5 − √3
a*(		)2 −
	√5 + √3

	a*(√5 − √3)2 + c*(√5 + √3)2		√5 − √3
−		*		+ c = 0
	2		√5 + √3

	√5 − √3		a*(√5 − √3)3+2c*(√5 + √3)
a*(		)2 −		+c=0
	√5 + √3		2*(√5 + √3)

	(√5 − √3)2		(√5 − √3)3
a*		− a*		+ 2c = 0
	(√5 + √3)2		2*(√5 + √3)

	(√5 − √3)2		2*(√5 − √3)2
2a*		− a*		+ 2c = 0
	2*(√5 + √3)2		2*(√5 + √3)2

2c = 0 => c=0

	a*(√5 − √3)2 + c*(√5 + √3)2		a*(√5 − √3)2
b = −		= −
	2		2

	a*(√5 − √3)2		a2*(√5 − √3)4
Δ = b2 − 4ac = b2 = (−		)2 =		> 0
	2		4

Δ > 0 więc są 2 pierwiastki

	a*(√5 − √3)2
√Δ = ±		= ±b
	2

Zakładam √Δ = b

	−b−√Δ		−b−b		−2b		b
x1 =		=		=		= −
	2a		2a		2a		a

	a*(√5 − √3)2   −   2		(√5 − √3)2
x1 = −		=		=
	a		2

	(√5 − √3)2*(√5 + √3)		(√5 − √3)
x1=		=		= xm
	2*(√5 + √3)		(√5 + √3)

	−b+√Δ		−b+b		0
x2 = x1 =		=		=		= 0
	2a		2a		2a

Rozwiązanie:

	(√5 − √3)
x1 =		; x2 = 0
	(√5 + √3)

	a*(√5 − √3)2
a∊R; b = −		; c = 0
	2

	a2*(√5 − √3)4
Równanie ma 2 pierwiastki bo Δ =		> 0 dla każdego a
	4

4 + √15 jakoś mi nie wyszedł jako pierwiastek

Domel: Kurde − tyle natłukłem a patrzę teraz, że mi też "b" wyszło niewymierne

PW: Domel, szkoda czasu. Nie miałeś ani liczyć a,b,c, ani sprawdzać wyróżnik. Zadanie brzmi: jeżeli D jest pierwiastkiem, to istnieje jeszcze inny pierwiastek. 1. Implikacja o fałszywym poprzedniku jest prawdziwa (zawsze). Tym większa korzyść dla nas − nie musimy nic dowodzić, zadanie w takim wypadku jest rozwiązane (implikacja jest prawdziwa). Nie ma zatem sensu weryfikacja − czy założenie w ogóle jest prawdziwe (np. czy Δ>0) i jakie z tego wynikają wnioski dla liczb a, b, c. 2. Nigdzie nie korzystasz z założenia, że liczby a, b, c są wymierne. Samo to powinno budzić wątpliwości − czy naprawdę dobrze wnioskuję, skoro coś udowodniłem (na "tak" lub na "nie") nie korzystając z tego założenia. Po co autor w takim razie czynił takie założenia? Nie były potrzebne?

Domel: Dzięki Zrobiłem sobie chociaż trening z pisania wzorków

pigor: ..., O jaki rezonans wywołała moja hipoteza ; dziękuję PW .