Dowody algebraiczne
chiara: Zadanie 1
Założenie: a,c ∊R+ ∪ {0}
Teza: a5−2a4b+a3b2+a4b−2a3b2+a2b3≥0
Zadanie 2
Założenie: a,b,c,d ∊R+
Teza: ac+bd≤√a2+b2−√c2+d2
18 lut 20:10
Panko: 1. a3( a2−2ab+b2) + a2b(a2−2ab+b2)=a3(a−b)2+a2b(a−b)2=(a−b)2( a3+a2b)=
(a−b)2*a2*(a+b)≥0
bo : (a−b)2≥0 ( równość ⇒a=b)
: a2≥0 ( równość ⇒a=0)
: a+b≥0 ( przy tych założeniach) ( równość⇒a=b=0)
czyli (a−b)2*a2*(a+b)=0 ⇒ a=b ∨a=0
2. wystarczy podnieść stronami do kwadratu( bo obie są dodatnie)
dostajemy ( z zachowaniem znaku nierówności)
( ac+bd)2≤( a2+b2)(c2+d2)
(ac)2 + 2abcd+ (bd)2≤ (ac)2+ (ad)2+(bc)2+(bd)2
2abcd≤ (ad)2+ (bc)2
0≤ ( ad−bc)2
18 lut 21:06
chiara: dziękuję bardzo
18 lut 21:32