Twierdzenie o trzech ciągach Bartek: Siemka. Pomożecie? zad. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach udowodnić, że:

	3n+2		3
a) lim n→∞		=
	4n+3		4

zad.Stosując twierdzenie o trzech ciągach wyznaczyć granice :

	1		2		3		n
a)lim n→∞		+		+		+...+
	1+n2		2+n2		3+n2		n+n2

wredulus_pospolitus: i problem polega na

	3n+2
znajdź mi coś 'lekko' większego od
	4n+3

a teraz coś 'lekko' mniejszego od tegoż ułamka

Bartek:

	3n+2		3n+2
czyli np,		≤ xn ≤		?
	4n+5		4n+1

z tym sobie poradze, ale tego drugiego jakoś nie umiem zacząć.

wredulus_pospolitus: z tych wszystkich ułamków napisz mi ten który jest najmniejszy i ten który jest największy no to teraz zastąp każdy ułamek największym ułamkiem (oszacowanie z góry) a teraz tym najmniejszym ułamkiem (oszacowanie z dołu) taaaaraaaa

Bartek: czyli znowu:

1		2		n		1		2		n
	+		+...+		≤ xn ≤		+		+...+
n+n2		n+n2		n+n2		n2		n2		n2

czy to będzie poprawne?

wredulus_pospolitus: tak jak widzisz ... to nic trudnego ... trza tylko 'wpaść' na pomysł (albo przerobić z 10−20 przykładów by 'widzieć' schemat)

Bartek: dzięki za nakierowanie, jeśli mógłbyś mi jeszcze pomóc z takim równaniem: obliczyć granice ciągu:

5*32n+1*22n−2+32n−3*2n
4*6n+1*3n+2*2n−1+6n+2*3n−1

wydaje mi się, że powinienem skorzystać z tw. o 3 ciągach, ale za dużo tutaj tych wszystkich liczb i nie wiem jak to rozwiązać. Myśle też że mógłbym coś wyciągnąć przed nawias, ale myśle i nie wiem. mógłbyś mi jeszcze w tym pomóc?

wredulus_pospolitus: krok 1: wszystko z potęgami sprowadzasz do tej samej potęgi (standardowo do ⁿ) krok 2: wybierasz w mianowniku element potęgowany, o największej podstawie, np.:

cos		cos
	=		... wybierasz 9n
2n+1 + 32n−1 + 4n		2*2n + 1/3 *9n + 4n

krok 3: dzielisz licznik i mianownik przez ten właśnie element i otrzymujesz coś podobnego do tego gdy się dzieliło w granicach typu wielomian/wielomian