Arytmetyka liczb pierwszych - zadanie V.Abel: Udowodnij, że skoro 2ⁿ−1 jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą. Jakaś podpowiedź? Proszę.

Trivial: Dla złożonego n rozdziel wielomian xⁿ−1 na dwa czynniki i pokaż, że też jest wtedy złożony.

Trivial: Rozważmy wielomian w(x) = xⁿ−1. Dla złożonego n mamy n = rs oraz 2 ≤ s ≤ r ≤ ¹₂n skąd

	(xs)r−1
w(x) = xrs−1 = (xs−1)*		= (xs−1)*(1 + xs + x2s + ... + x(r−1)s)
	xs−1

A zatem widzimy, że 2^rs−1 jest podzielne przez 2^s−1 ≥ 3 gdyż s ≥ 2. Udowodniliśmy więc n złożone ⇒ 2ⁿ−1 złożone Czyli nie wprost także: 2ⁿ−1 pierwsze ⇒ n pierwsze.

Trivial: Tym sposobem można też dowieść, że liczba xⁿ−1 jest pierwsza tylko dla x = 2. Dowód: Weźmy s = 1, r = n. Aby xⁿ−1 było pierwsze x−1 musi być równe 1, a zatem x = 2.

Domel: lubię matmę ale takie dowody mogą człowieka ........... noooo co najmniej doprowadzić do rozstroju przewodu pokarmowego − a to z kolei doprowadzi do udowodnienia, że sraczka jest paradoksem bo się robi często ale rzadko

Trivial: Ale co jest takiego rozstrajającego w tym dowodzie? Wykorzystana została jedynie suma ciągu geometrycznego.

V.Abel: Dzięki Trivial, przepraszam, że z takim opóźnieniem. Naprawdę dzięki