Zbi9r wartości funkcji Alan: Wyznacz zbiór wartości funkcji: F(x)= −sin²x + 4sinx + 12 F(x)= ctg²x − 2ctgx − 3 Obliczam f(1), f(−1), p, q i jak p nie należy do dziedziny, nie wiem jak ma wyglądać wykres. Proszę o pomoc i dokładne wytłumaczenie.

ZKS: Przecież masz znaleźć zbiór wartości a nie rysować wykres.

Alan: Tak, ale na zajęciach rysowaliśmy wykres i z niego odczytywaliśmy zbiór wartości.

ZKS: To w takim razie jaki masz problem? Masz dwa punkty wystarczy je nanieść na układ współrzędnych i połączyć. Ale nie wiem jaki jest sens rysowania tego skoro z obliczeń masz wyliczony zbiór wartości.

PW: −sin²x + 4 sinx = −sinx(sinx − 4) jest to złożenie funkcji f(u) = −u(u−4) z funkcją u(x) = sinx. Nie interesuje nas przebieg (wykres) tej funkcji trudny do narysowania. Nas interesuje minimum i maksimum tej funkcji, a ponieważ sinus osiąga wszystkie możliwe wartości od −1 do 1 na

	π		π
przedziale [−		,		], wystarczy zbadać zachowanie funkcji f(u) na przedziale [−1,1].
	2		2

Jak wiadomo funkcja u(x) jest na tym przedziale rosnąca (specjalnie taki wybraliśmy, tu warto zrobić rysunek). Funkcja f(u) = −u(u−4) jest rosnąca na przedziale [−1, 1] (tu warto narysować wykres funkcji f(u) na przedziale [−1, 1]). Wiadomo, że złożenie funkcji rosnących jest funkcją rosnącą, więc f(u(x)) jest też funkcją rosnącą. Tu już rysunek bym sobie darował, bo nie bardzo wiadomo jak to przebiega. Na pewno

	π		π
jednak minimum i maksimum sa osiągane na krańcach przedziału [−		,		],
	2		2

	π		π		π
fmin = f(sin(−		)) = −sin(−		)(sin(−		− 4) = −(−1)(−1−4) = −5
	2		2		2

	π
f{max} = f(sin(		)) = − 1(1− 4) = 3.
	2

F(x) = f(u(x)) +12 osiąga więc minimum równe −5+12 = 7 oraz maksimum rowne 3+12 = 15. Jestem ciekawy, czy takie wątpliwości miał Alan − proszę o odpowiedź.