Indukcja i coś jeszcze Adam: 1. Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnić: 6|(n³−n) dla N ∊ N i n≥2 2. Wyznaczyć ⁶√64 oraz (1+i)¹⁶. Rozwiązania podać w postaci algebraicznej (z = a+bi).

Maslanek: 2. Weźmy z=1+i

	pi
Wtedy np. q=
	4

Oraz |z|=√2

	pi		pi
Czyli z=√2(cos(		)+i*sin(		))
	4		4

	pi		pi
Skąd z16=√216*(cos(		*16)+i*sin(		*16))
	4		4

z¹⁶=2⁸*(cos(4pi)+i*sin(4pi)) z¹⁶=2⁸*(1+i*0)=2⁸=256.

Tomek: 1. dla n=2 mamy n³ −n = 2³−2 = 8−2=6, czyli jest podzielne przez 6 teraz założenie: dla s ∊ N n³ − n = 6s teza: dla t ∊ N (n+1)³ − (n+1) = 6t lewa strona tezy: (n+1)(n²−n+1)−(n+1)=(n+1)(n²−n)=n³−n²+n²−n=n³−n i to z założenie jest 6s, czyli też jest podzielne przez 6.

Tomek: 2. ⁶√64 dla z = 64, γ=0π dla k=0 z₀=⁶√64(cos0π+i*sin0π) z₀=2(1+0i) z₀=2 dla k=1 z₁=2(cos ^π₃ +i*sin ^π₃) z₁=1+√2i z₂= −1+√2i z₃= −2 z₄=−1−√2i z₅=1−√2i

Domel: ad. 1. lub też mając równanie (n+1)³ − (n+1) = ... (patrz wyżej) ... = (n+1)(n²−n) = (n+1)*n*(n−1) Wiadomo, że jeżeli mamy do czynienia z 3 kolejnymi liczbami naturalnymi (tu ≥ 2) to przynajmniej 1 liczba jest parzysta i przynajmniej 1 liczba jest podzielna przez 3 a więc iloczyn tych 3 kolejnych liczb musi być podzielny przez 6 − Łot i dowbud