Nierówność z wartością bezwzględna Paweł: Da się jakoś sprytnie rozwiązać taką nierówność: |(x−1)(x−4)|>=|(x−2)(x+2)| x rzeczywiste bez − 2 i 2

pigor: ... , ... dobre pytanie, bo jeśli (*) x∊R−{−2.2}, a ktoś − tak jak ja − nie lubi przedziałami, to może np. tak

	|(x−1)(x−4)|
|(x−1)(x−4)| ≥ |(x−2)(x+2)| ⇔		≥1 ⇔
	|(x−2)(x+2)|

	x2−5x+4		x2−5x+4		x2−5x+4
⇔ |		| ≥1 ⇔		≤ −1 v		≥1 ⇔
	x2−4		x2−4		x2−4

	x2−5x+4		x2−5x+4
⇔		+1 ≤ 0 v		−1 ≥0 ⇔
	x2−4		x2−4

	x2−5x+4+x2−4		x2−5x+4−x2+4
⇔		≤ 0 v		≥0 ⇔
	x2−4		x2−4

⇔ (2x²−5x)(x²−4) ≤ 0 v (−5x+8)(x²−4) ≥0 ⇔ ⇔ 2x(x−2,5)(x−2)(x+2) ≤ 0 v −5(x−1,6)(x−2)(x+2) ≥0 ⇔ ⇔ x(x−2,5)(x−2)(x+2) ≤ 0 v (x−1,6)(x−2)(x+2) ≤ 0 , stąd i z (*) ⇔ −2 < x ≤ 0 v 2 < x ≤ 2,5 v x < −2 v 1,6 ≤ x < 2 ⇔ ⇔ x∊(−∞ ;−2) U (−2 ;0] U [1,6 ;2) U (2; 2,5] − szukany zbiór rozwiązań. albo zapisując krócej x∊(−∞; 0] U [1,6; 2,5] \ {−2,2} ...

pigor: ..., no ale ... "sprytnie", to dla mnie takie rozwiązanie : |(x−1)(x−4)| ≥ |(x−2)(x+2)| i (*) x∊R\{−2,2} ⇔ |x²−5x+4|² ≥ |x²−4|² ⇔ ⇔ (x²−5x+4)²−(x²−4)² ≥ 0 ⇔ (x²−5x+4−x²+4) (x²−5x+4+x²−4) ≥ 0 ⇔ ⇔ (−5x+8) (2x²−5x) ≥ 0 ⇔ −5(x−1,6)* 2x(x−2,5) ≥ 0 /:(−10) ⇔ ⇔ x(x−1,6)(x−2,5) ≤ 0 ⇔ x ≤ 0 v 1,6 ≤ x ≤ 2.5, no to stąd i z (*) ⇔ ⇔ x∊(−∞; 0] U [1,6 ;2,5] \ {−2,2} i to tyle . ...

PW: O, i to jest piękne. Wydawałoby się, że podniesienie do kwadratu jest złym pomysłem. Wystarczyło jednak zobaczyć te czwórki i to, że "parabole są tego samego kształtu" ...

pigor: ..., dzięki, no właśnie też początkowo odrzuciłem podnoszenie do kwadratu, bo skupiłem się na tym warunku x≠±2, że mogła to być nierówność wymierna do której. ... wróciłem, no ale nie podobało mi się to, więc "urodziło się" coś nowego − dużo krótsze rozwiązanie; pozdrawiam. ...