równania Justyna: a). Sin3x +cos3x = √2 b). cos4x – sin4x = sin4x c). sin4 x/3 + cos4( x)/( 3) = 5/8

Bogdan: Podaję jeden ze sposobów rozwiązania tego typu równań. sin(3x) + cos(3x) = √2

	sin45o
sin(3x) + 1 * cos(3x) = √2, 1 = tg45o =
	cos45o

	sin45o		√2
sin(3x) +		* cos(3x) = √2 / * cos45o cos45o =
	cos45o		2

sin(3x) cos45^o + sin45^o cos(3x) = 1 sin(3x + 45^o) = 1 3x + 45^o = 90^o + k*360^o, k∊C,

	1
3x = 45o + k*360o / *		⇒ x = 15o + k*120o.
	3

Justyna: dzięki wielkie

(PL)AYBOY: Jak to rozwiązać? cos⁴x−sin⁴x=sin4x

Eta: cos⁴x−sin⁴x=(cos²x−sin²x)(cos²x+sin²x)= cos2x*1= cos2x oraz sin4x=2sin2x*cos2x cos2x−2sin2x*cos2x=0 ⇒ cos2x(1−2sin2x)=0

	1
to: cos2x=0 v sin2x=
	2

dokończ..........

PW: Justyno, wymyśliłem nieco zaskakujący sposób rozwiązania − dla zabawy umysłowej warto przeczytać. Wiadomo, że dla dowolnych nieujemnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność

	a + b
		≥ √ab
	2

(nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną), przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = b. Zastosowanie tej nierówności daje (1) sin3x + cos3x ≥ 2√sin3scos3x

	1
sin3x + cos3x ≥ 2√		(2sin3scos3x)
	2

(2) sin3x + cos3x ≥ √2√sin6x. Prawa strona ma szansę być równa √2 tylko gdy sin6x=1, to znaczy 6x=90°, czyli x=15° (rozwiązuję tylko w przedziale <0,360°). Równość sin3x=cos3x ma miejsce również dla 3x=45°, czyli x=15°. Mamy więc: dla x=15° w nierówności (1) ma miejsce równość, a w (2) prawa strona przyjmuje wartość √2, co oznacza, że zadana równość sin3x + cos3x = √2 jest spełniona. Ktoś może powiedzieć, że udziwniam, ale zauważ, że tym sposobem rozwiązać można np, równanie sin5x + cos5x = √2, w którym po lewej stronie byłyby większe kłopoty.