obliczyc za pomoca wzorow de Moivre'a Yaromir: a.) (−1+i√3)³⁰= b.) (1+i)²⁰⁰⁵=

	−√3		1
c.)(		+i		)2004=
	2		2

	(−2+i2√3)16
d.)		=
	(1+i√3)7

	(1+i)80		(1−i)80
e.)		+		=
	(√3+i)18		(√3−i)18

f.) iⁿ= g.)(1+i)ⁿ=

	(1+i)n
h.)		= ; dla n nalezacego do Naturalnych
	(1−i)n−2

i.)⁴√−16= j.)³√−i= k.)⁶√1=

	1−i
l.)6√		=
	√3+i

	1+i
m.)8√		=
	√3−i

AS: Skorzystaj z wzoru Moivre'a Jeżeli z = r*(cosφ + i*sinφ) to zⁿ = rⁿ*(cos(n*φ) + i*sin(n*φ)) W pierwszej kolejności przedstaw liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej (jak w poprzednim poście) a potem przejdź do wzoru Moivre'a.

tim: Hej AS

AS: Czy coś nie tak?

Yaromir: czy moglbym jadnak mimo wszystko prosic o wyniki w celu sprawdzenia

AS: a) 1.073742*10⁹ b) −4.286034*10³⁰¹ − 4.286034*10³⁰¹*i = −4.286034*10³⁰¹*(1 + i) c) 1 d) 1.677722*10⁷ + 2.905899*10⁷*i e) −8.388608*10⁶ f) iⁿ = 1 dla n = 4*k k = 0,1,2,3,... = i dla n = 4*k + 1 = −1 dla n = 4*k + 2 = −i dla n = 4*k + 3 iⁿ z = 0 + 1*i r = 1 cos(α) = 0/1 = 0 sin(α) = 1/1 = 1 , α = 90^o = π/2 zⁿ = iⁿ = 1*(cos(n*α) + i*sin(n*α)) = cos(n*α) + i*sin(n*α) h) (1 + i)ⁿ z = 1 + 1*i , r = √1² + 1² = √2 cos(α) = 1/1 = 1 , sin(α) = 1/1 = 1 , α = 45^o = π/4 zⁿ = (1 + i)ⁿ = (√2)ⁿ*(cos(n*45^o) + i*sin(n*45^o)) reszta rozwiążań czeka w kolejce

AS: Korekta

	1		1
W h) ma być sin(α) =		, cos(α) =
	√2		√2

AS: h)

(1 + i)n		(1 + i)n		(1−i)2
	=		*		=
(1 − i)n−2		(1 − i)n−2		(1−i)2

(1+i)n*(1−2i+i2)		1+i
	= (		)n*(1−2i−1) =
(1−i)n		1−i

	(1+i)*(1+i)		(1+i)2
(		)n*(−2i) = (		)n*(−2i) =
	(1−i)*(1+i)		1−i2

1 + 2i + i2		1 + 2i − 1
	*(−2i) = (		)n*(−2i) = in*(−2i) = −2*in+1
1 − (−1)		2

AS: Jeżeli z = a + b*i to

	α + 2*k*π		α + 2*k*π
n√z = n√r*(cos		+ i*sin		) dla k = 0,1,2,...,n−1
	n		n

i) ⁴√−16

	a		−16		0
z = −16 + 0*i r = |−16| = 16 cos(α) =		=		= −1 , sin(α) =		= 0 ,
	r		16		16

α = π z = 16*(cos(−π) + i*sin(−π))

	−π + 2*k*π		−π+2*k*π
4√−16 = 4√16*(cos		+ i*sin		) dla k = 0,1,2,3
	4		4

dla k = 0 ⁴√−16 = √2*(1 + i) W podobny sposób proszę wykonać następne zadania.