Punkt C= (1,-3) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC.

Punkt C= (1,-3) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC. ronan: Punkt C= (1,−3) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego ABC. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta, wiedząc, że należą one do prostej o równaniu y= −x+4.

pigor: ..., np. tak : znajdę współczynniki kierunkowe m₁,m₂=? prostych zawierających boki AC i BC, gdzie C=(1,−3) tworzących z daną prostą o współczynniku kierunkowym a= −1 kąt 60^o ze wzoru na miarę kąta

	m−a
między dwiema prostymi tgα= \|		\| , mianowicie tu :
	1+ma

	m+1		1+m		1+m
tg60^o=√3=\|		\| ⇒		= √3 v		=−√3 ⇔
	1−m*1		1−m		1−m

⇔ 1+m=√3−m√3 v 1+m=−√3+m√3 ⇔ m(√3+1)=√3−1 v m(√3−1)=√3+1 ⇔ ⇔ m(3−1)= (√3−1)² v m(3−1)=(√3+1)² ⇔ 2m=4−2√3 v 2m=4+2√3 ⇔ ⇔ m₁=2−√3 i m₂=2+√3 , zatem proste: AC: y+3= (2−√3)(x−1) i BC: y+3=(2+√3)(x−1} ⇔ ⇔ AC: y=(2−√3)x+√3−5 v BC: y=(2+√3)x−√3−5 i teraz wystarczy rozwiązać 2 układy równań prostych zawierających boki Δ ABC: (AC i AB) v (BC i AB) ⇔ ⇔ (y=(2−√3)x+√3−5 i y=−x+4) v (y=(2+√3)x−√3−5 i y=−x+4) , których rozwiązania to szukane wierzchołki A i B odpowiednio . ... emotka

Eta: No to ja tak: prosta AB : x+y−4=0 , C(1,−3) odległość d punktu C od prostej AB jest równa długości wysokości tego trójkąta

	11−31−4\|		6
h=d=		=		= 3√2
	√1+1		√2

	a√3
zatem		=3√2 ⇒ a= 2√6
	2

okrąg o środku C i promieniu r=a przecina prostą AB w punktach A i B o: (x−1)²+(y+3)²= 24 rozwiązując układ równań tego okręgu z prostą AB : y=−x+4 otrzymasz współrzędnie punktów A i B A to już sam dokończ........

PW: Ciekawe zadanie dla leniwych, więc i ja się pokuszę (może zdradzę tajemnicę układania takich zadań?). Widać, że po przesunięciu o wektor [−4,0] mamy do czynienia z punktem D = (−3,−3) i prostą o równaniu y=−x. Znalezienie punktów E i F na prostej y=−x, takich że |EF| = |DE| = |DF| jest proste: szukane punkty są symetryczne względem (0,0), są to więc (zakładamy a>0) E = (a,−a) i F = (−a,a). Wobec tego |EF| = 2a√2 |DE| = √(a+3)² + (−a+3)² = √a²+9√2, skąd 2a = √a²+9 a = √3. Po "powrocie" − przesunięciu o wektor [4,0] otrzymamy odpowiedź: szukane punkty to (4+a,−a) i (4−a,a), czyli (4+√3, −√3) i (4−√3, √3).