szeregi Kejt: Dla Godzia

	xn
Określić przedział zbieżności szeregu ∑∞n=2		i znaleźć jego sumę, następnie
	n2−n

	1
wyznaczyć sumę szeregu ∑∞n=2		.
	2n*n(n−1)

o ile z wyznaczeniem przedziału zbieżności nie mam większych problemów:

	1
x0=0 an=
	n2−n

	1   n2−n		1		(n+1)(n+1−1)
R=limn−>∞		=limn−>∞		*		=
	1   (n+1)2−(n+1)		n(n−1)		1

	1		n(n+1)		n+1		n−1+2
limn−>∞		*		=limn−>∞		=limn−>∞		=
	n(n−1)		1		n−1		n−1

	2
limn−>∞( 1 +		)=1
	n−1

x∊(−1;1) to dalej nie jestem w stanie poskracać tej sumy tak, żeby wyszedł jakiś sensowny wzór.. w przedziałach nigdy tego nie rozwiązywaliśmy na zajęciach...(w drugim podobnie)

Godzio: Przedział zbieżności nie do końca jest dobry Wskazówka:

	xn
fn(x) =		⇒ f''n(x) = xn − 2
	n2 − n

Należy jeszcze uzasadnić, że możemy liczyć pochodną szeregu, ale to już chyba jest proste, jak czegoś nie wiesz, pytaj !

Kejt: oczywiście zapomniałam posprawdzać, czy można domknąć.. zaraz dorzucę..

Trivial: Dlaczego należy uzasadnić, że można liczyć pochodną szeregu?

Kejt: ja nawet nie wiedziałam, że tak można −.−

Godzio: Naczy to akurat wynika ze zbieżności szeregu w (−r,r), ale trzeba to napisać

Trivial: No to jaki będzie wynik?

Kejt: dobre pytanie.. nie ogarnęłam tego z tą pochodną −> pierwszy raz to na oczy widzę.. nie uda się jakoś inaczej?

Godzio:

	xn
S(x) = ∑n = 2∞
	n(n − 1)

	1
S''(x) = ∑n = 2∞xn − 2 = ∑n = 0∞xn =		⇒ S(x) = ... (dwa razy scałkować)
	1 − x

	1
I na końcu S(		) = ...
	2

Taki sposób będzie za trudny ? Zaraz można jeszcze nad innym posiedzieć

Kejt: dobra.. odkopałam coś z pochodną.. ale nadal nie wiem na jakiej podstawie to wszystko działa.. mózg mi się przegrzewa..

Kejt: Zrobiłam! dla potomnych rozwiązanie: ∞

	xn		1
∑		x0=0 an=
	n2−n		n2−n

n=2

	1		1		1
R=limn−>∞U{		}{		=limn−>∞		*U{(n+1)(n+1−1)}=
	n2−n		(n+1)2)−(n+1)		n(n−1)

	n+1		2
=limn−>∞		=limn−>∞1+		=1
	n−1		n−1

x∊(−1;1) sprawdzam krańce przedziału: dla −1: ∞ ∞

	(−1)n		1
∑		= ∑ (−1)n *
	n2−n		n2−n

n=2 n=2

	1
an=
	n2−n

z kryterium Leibniza (warunki spełnione: 1. lim_n−>∞a_n=0 2. a_n nierosnący:

1		1		1
	>		>		)
2		6		12

∞

	1
wobec tego na mocy kryterium Leibniza, szereg: ∑ (−1)n *		jest zbieżny.
	n2−n

n=2 dla 1: ∞

	1		1		4
∑		z kryterium porównawczego, podejrzewam zbieżność:		<
	n2−n		n2−n		n2

n=2

	4
∑		jest zbieżny na podstawie szeregu Dirichleta: α>1
	n2

∞

	1
zatem na mocy kryterium porównawczego szereg ∑		jest zbieżny
	n2−n

n=2 zatem przedział zbieżności wynosi: x[−1;1] suma szeregu: ∞

	xn
∑		= f(x) /'
	n2−n

n=2 ∞

	n*xn−1
∑		= f'(x)
	n(n−1)

n=2 ∞

	xn−1
∑		= f'(x) /'
	n−1

n=2 ∞

	(n−1)xn−2
∑		= f''(x)
	n−1

n=2 ∞ f''(x)= ∑ xⁿ⁻² −−> szereg geometryczny: 1, x, x², ... n=2

	a1		1
suma nieskończonego szeregu geometrycznego: S=		=> S=
	1−q		1−x

	1
f''(x)=		/∫
	1−x

f'(x)=−ln|1−x| f(x)=−∫ln|1−x| −∫ln|1−x| = * przez części: u=ln|1−x| v'=1

	1
u' = −		v=x
	1−x

	x		x
* = −[xln|1−x|+∫		] = −xln|1−x| − ∫		dx = *
	1−x		1−x

	x		x		x−1+1		1
∫		dx = −∫		dx = −∫		dx=−[∫1dx+∫		dx]= −[x+ln|x−1|]+C
	1−x		x−1		x−1		x−1

*= −xln|1−x|+x+ln|x−1|+C suma szeregu: f(x)= −xln|1−x|+x+ln|x−1|

	1
analogicznie druga część.. tak samo tylko pod 'x' trzeba podstawić		:
	2

	1		1		1		1		1		1		1		1		√2		1
f(		)=−		ln		+		+ln		=		ln		+		=ln		+
	2		2		2		2		2		2		2		2		2		2

i gratuluję przeczytania tego do końca