Potencjał Ada: Zadanie 241 c) Stankiewicz

	1		y		x		x		xy
∫AB (1−		+		)dx+(		+		)dy−		dz
	y		z		z		y2		z2

A=(1,1,1) B=(0,2,3) Oblicz całki krzywoliniowe różniczek zupełnych.

	1		y		x		x		xy
Najpierw badam czy F=((1−		+		), (		+		), −		) ma potencjał
	y		z		z		y2		z2

(różniczkę zupełną)

−x

x

−y

y

1

1

1

1

rotF=(

+

,

+

,

+

−

−

)=(0,0,0)=0

z2

z2

z2

z2

z

y2

y2

z

Z zerowania się rotacji wynika (rozważamy obszar jednospójny, bo tylko w takim obszarze definiowaliśmy całkę krzywoliniową), że całka ta wyraża różniczkę, oraz, że jej wartość nie zależy od drogi całkowania. Zakładam dla ułatwienia, że całkujemy po prostej AB o równaniu zadanym parametrycznie:

	⎧	x=1−t
l:	⎨	y=1+t	t∊[0,1]
	⎩	z=1+2t

	1		t+1		1−t		1−t
I=∫01(1−		+		+		+		−
	t+1		2t+1		1+2t		(t+1)2

(1−t)(t+1)
	)*√1+1+4dt=...
(1+2t)2

Krzysiek: nie lepiej znaleźć różniczkę zupełną ? albo wyliczyć albo 'zauważyć' że Pdx+Qdy+Rdz=dG gdzie G=x−x/y+xy/z+C

Trivial: Dokładnie to co mówi Krzysiek. Skoro już dowiodłaś, że pole F jest potencjalne to najłatwiej będzie szybko znaleźć potencjał u, taki że ∇u = F, a wtedy: ∫_A^B F∘dr = u(B) − u(A).

Ada: Tu bardziej chodziło o to że tak można.

Trivial: Całka jest skierowana, zatem:

	dx		dy		dz
I = ∫01 (P		+ Q		+ R		) dt
	dt		dt		dt

= ∫₀¹ (−P+Q+2R) dt = ...

Ada: <facepalm>