zadanie konkursowe konkurs: Ktoś ma jakiś pomysł? zadanie konkursowe z czerwca 2005 roku (etap wojewódzki, klasy drugie liceum i trzecie technikum) Podaj wszystkie pary liczb rzeczywistych (a,b) dla których funkcja f(x)=|x+a| + |x+b| jest parzysta.

Janek191: f(−x) = f(x) f(−x) = I − x + aI + I − x + b I f(x) = I x + a I + I x + b I Rozpatrz różne przypadki

konkurs: ok dziekuje

Panko: ∀x∊R I x+aI +Ix+bI= I−x+aI +I−x+bI (***) czyli też dla x=a : I a+aI +Ia+bI= I−a+aI +I−a+bI I 2aI +Ia+bI= I−a+bI ⇒ I 2aI =Ib−aI −Ib+aI czyli też i dla x=b : I b+aI +Ib+bI= I−b+aI +I−b+bI I b+aI +I2bI= I−b+aI ⇒ I2bI = Ia−bI− Ia+bI ale I a−bI=Ib−aI stąd I 2aI =Ib−aI −Ib+aI = Ia−bI− Ia+bI =I2bI ⇒( IaI=IbI ⇔a=b ∨ a=−b ) Pozostaje tylko faktyczne sprawdzenie czy tak jest dla a=−b (podstaw do (***) )