rekurencja matematyczna shady: Znaleźć jawny wzór do obliczania kolejnych wyrazów ciągu spełniającego warunku rekurencyjne 6_n+₂ = 5a _n+₁ − 6a_n, przy czym = a_n = 2, a₁ = 5 Problem w tym, że zwykle a stoi przy s_n−₁ a b przy s_n−₂ i ciąg zaczyna się od S_n a tutaj jakoś inaczej bo od 6_n+₂ Pozdrawiam

shady: przy czym a₀ = 2, a₁ = 5 − mała poprawka

Mat: x²=5x−6 x=1 v x=6 an=A*1ⁿ + B * 6ⁿ

Mat: a0=A+B a1=A+6B

shady: a dlaczego przenosisz x² na lewą stronę a resztę zostawiasz po prawej ?

Mat: na pewno tam jest 6an+2 = 5an+1 − 6an ? sorry napisalam dla an+2 = 5an+1 − 6an

shady: tak, na 100 % procent treść jest taka jak podałem

PuRXUTM: hm umie ktoś może nie da się wyznaczyć wzoru...

Ada: 6_n+2 A co to w ogóle jest

PuRXUTM: tam jest raczej 6 a_n+2

Godzio: Tak to wygląda ?

⎧	6an + 2 = 5an + 1 − 6an
⎨	a0 = 2
⎩	a1 = 5

Jakie miałeś metody rozwiązywania rekurencji ?

shady: nie pomyliłeś się czasami w pierwiastkach? nie powinny mieć rozwiązań x₁ = 2, x₂ = 3 ?

shady: Podaję jeszcze raz wzór a_n+₂ = 5a_n+₁ − 6a_n sory za błąd na samym początku

shady: Do tej pory miałem przykłady które od razu dało się rozwiązać na podstawie wzoru S_n = as_n−₁ + bs_n−₂, po czym podstawiało się do wzoru x² − ax − b = 0 i dalej wiadomo a tutaj nie wiem co zrobić

shady: nie wiem czy dobrze kombinuje teraz ale idę tropem tego wzoru x² = ax + b i wychodzą mi miejsca zerowe x₁ = 2, x₂ = 3 mógłby ktoś potwierdzić ? bo jeśli to się zgadza to dalej chyba już wystarczy podstawić pod ten wzór S_n = c₁ * r₁ⁿ + c₂ * r₂ⁿ ?

+-: a_n+1=3a_n−2ⁿ

+-: a_n+1=3*(3*(3*....*(3*(3*(3a₀−2⁰)−2¹)−2²)−2³)..−2ⁿ= =3ⁿ*3*a₀−3ⁿ*2⁰−3ⁿ⁻¹*2¹−...−3*2ⁿ⁻¹−2ⁿ

shady: Powie ktoś czy dobrze ?

Trivial: a_n+2 = 5a_n+1 − 6a_n a₀ = 2 a₁ = 5 Szukamy rozwiązania jednorodnego poprzez znalezienie pierwiastków równania charakterystycznego. λ² = 5λ − 6 ⇔ (λ−2)(λ−3) = 0 a_n = c₁2ⁿ + c₂3ⁿ. a₀ = c₁ + c₂ = 2 a₁ = 2c₁ + 3c₂ = 5 Rozwiązaniem powyższego układu jest para (c₁,c₂) = (1,1), czyli a_n = 2ⁿ + 3ⁿ.

PuRXUTM: no teraz to ok