Strumień przez powierzchnię. Ada: Zadanie z egzaminu. Chodzi o to jakie trzeba tu dopisać komentarze, żeby było dobrze. Niech S będzie powierzchnią boczna ostrosłupa o wierzchołkach ABCD o podstawie ABC, gdzie A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,0,1) i D=(0,0,2). Oblicz strumień pola wektorowego F=(x, −y, z²) przez wewnętrzną stronę powierzchni S. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z trzech trójkątów, ostrosłupa bez podstawy. Można korzystając z twierdzenia Gaussa−Ostrogradskiego policzyć strumień całego ostrosłupa (jego powierzchnia jest zamknięta) i odjąć strumień przechodzący przez podstawę. Twierdzenie Gaussa zakłada, że powierzchnia zorientowana jest zewnętrznie, z tym, że istnienie jednej całki (zorientowanej np. zewnętrznie) implikuje istnienie drugiej całki. Są one sobie równe co do wartości, mają jednak przeciwnie skierowane znaki. Więc: S−powierzchnia całego ostrosłupa. I₁=∫∫_S⁻=−∫∫∫_VdivFdV

	∂		∂		∂
divF=[		,		,		]•[x, −y, z2]=
	∂ x		∂ y		∂ z

1−1+2z=2z=4(1−x−y) x∊[0,a] y∊[0,−x+a] z∊[0,2(1−x−y)] I₁=−∫₀¹ dx ∫₀^−x+1dy∫₀^2(1−x−y)4(1−x−y) dz = −4∫₀¹ dx ∫₀^−x+1 2(1−x−y)² dy= −8∫₀¹ dx ∫₀^−x+1[(1−x)²−2(1−x)y+y²]dy=

	1
−8∫01 [(1−x)3−(1−x)3+		(1−x)3]dx=−3∫01(1−2x+x2)dx=
	3

	1		1
−3[x−x2+		x3]10=−3[1−1+		]=−1
	3		3

Strumień przenikający przez podstawę: S: y(x)=−z+1 z=0 I₂=∫∫_S1F • dS = 0 −> równoległa do z. I=−1

Ada: Dla jasności. Egzamin już był