Jest macierz i trzeba ją przejśc do drugiej macierzy :P Kowalski: P_B→C =( P_E→B)⁻¹P_E→C Korzystajac z powyższej własności znaleźć macierz przejścia z bazy B do bazy C przestrzeni V(jako E przyjąć bazę standardową przestrzeni V): i) V=R2, B={(3;2),(5;4)},C={(4;2),(6;8)}; Proszę o przykład z wytłumaczeniem, albo przynajmniej same obliczenia, do reszty sam dojdę. Z góry dziękuję.

Kowalski: Powinno być V=R² przepraszam za błąd

Krzysiek: macierz przejścia z bazy standardowej do innej bardzo prosto się wyznacza przykładowo:

	3 5 2 4
PE→B =

bierzesz wektor z nowej bazy i szukasz współrzędnych tego wektora w starej bazie (3,2)=α(1,0)+β(0,1)⇒α=3 i β=2 więc pierwsza kolumna to wektor: [3,2]

Kowalski: Dzięki

Trivial: O co chodzi z zamianą bazy? Domyślnie pisząc np. v = (1,2)_E mamy na myśli zapis w bazie standardowej E, tj.

	1 0		0 1
v = 1*		+ 2*

Zamiana bazy polega na wyrażeniu wektora v jako kombinację innych wektorów bazowych. Przyjmując

	1 1		0 1
jako bazę B np. wektory		,		wektor v wyrazimy jako

	1 1		0 1
v = 1*		+ 1*

Czyli w nowej bazie wektor v zapiszemy jako v = (1,1)_B. Chcemy aby macierz M zmiany bazy E → B mapowała współrzędne bazy standardowej E (przykładowo v = (1,2)_E) do współrzędnych bazy B (v = (1,1)_B). Czyli:

	1 2		1 1
M		=		.

Jak znaleźć taką macierz? Sposób jest bardzo prosty. Ponieważ wiemy jak wyrazić dowolny wektor w bazie standardowej, wystarczy sprawdzić jak wyrazić wektory bazy standardowej w bazie B. Współczynniki są tak proste, że można je odgadnąć:

	1 0		1 1		0 1
		= 1*		+ (−1)*

	0 1		1 1		0 1
		= 0*		+ 1*

Teraz każdy wektor v = (a,b)_E możemy zapisać w bazie B! Ponieważ:

	1 0		0 1		1 1		0 1		1 1		0 1
(a,b)E = a*		+ b*		= a*[1*		+ (−1)*		] + b*[0*		+ 1*		]

	1 1		0 1
= a*		+ (b−a)*		= (a, b−a)B

Macierz przejścia będzie następująca:

	1 0 −1 1
M =

	1 0 −1 1	1 2		1 1
I sprawdzenie:			=		OK

W analogiczny sposób można znaleźć macierz przejścia B → C w tym zadaniu. A jeżeli już znamy macierze przejścia E→B oraz E→C to można zastosować: x_C = (B→C)x_B = (E→C)*(B→E)x_B = (E→C)*(E→B)⁻¹x_B. (czytamy od prawej)

Kowalski: Trivial sam to opracowałeś? Jeżeli tak to szacun, już dokładniej się nie dało. Daję lajka

Trivial: Pewnie, że sam. Algebra liniowa jest dość intuicyjna.

Trivial: A jeśli chodzi o samo zadanie:

3 2		4 2		6 8		3		1
	= a11*		+ a21*		→ a11 =		, a21 =
						5		10

5 4		4 2		6 8		4		3
	= a12*		+ a22*		→ a12 =		, a22 =
						5		10

Czyli

	1	6 8 1 3
AB→C =
	10

Kowalski: Kurcze no, muszę częściej zaglądać na to forum

Trivial: I inny sposób:

	4 6 2 8		3 5 2 4		1	6 8 1 3
AB→C = AC→E−1*AB→E =		−1		=			.
					10

Krzysiek: Trivial dobrze to masz? jak dla mnie odwrotnie liczysz. A_B→C czyli z bazy B do bazy C a ty liczysz z bazy C do B

Trivial: Sprawdźmy... Weźmy przykładowy wektor wyrażony w bazie B: v = (1,−1)_B, czyli:

	3 2		5 4		−2 −2
vE =		−		=

A idąc najpierw do bazy C:

	1	6 8 1 3	1 −1		1	1 1
vC =				= −
	10				5

	1		4 2		6		1	10 10		−2 −2
vE = −		[		+		] = −			=
	5				8		5

Wydaje się OK, chyba że coś źle rozumiem.

Trivial:

6		6 8
	to oczywiście		.
8

Krzysiek: P_B→C czyli zgodnie z definicją biorę wektor z bazy C i szukam współrżenych tego wektora w bazie B więc (4,2)=a(3,2)+b(5,4)⇒(4,2)=[3,−1]_B (6,8)=[−8,6]_B

	3 −8 −1 6
PB→C=

	2 −5/2 −1 3/2		4 6 2 8
(PE→B)−1*PE→C=		*		=PB→C

czyli się zgadza.

Trivial: Nie rozumiem. Powinno być x_C = P_B→Cx_B czy x_B = P_B→Cx_C? x_B oznacza współrzędne w bazie B, x_c − w bazie C.

Krzysiek: to drugie

Trivial: To mam na odwrót. Przyjąłem wersję pierwszą. Ale w takim razie, czy w zadaniu nie pytają o P_C→B? (macierz przejścia z bazy B do bazy C). Ja wyznaczyłem A takie że x_C = Ax_B. PS: Dlaczego to się definiuje tak "na odwrót"?

Krzysiek: w treści jest: "Korzystajac z powyższej własności znaleźć macierz przejścia z bazy B do bazy C" więc szczerze mówiąc nie interesowało mnie to jak się przyjmuje(zapisuje)macierz przejścia z B do C czy jest to: P_C→B czy P_B→C jak było napisane P_B→C to przyjąłem że jest to właśnie oznaczenie z B do C. (co wydaje mi się że jest zrozumiałe " →" jako przejście )