matma Różno: Czy jest tu ktoś tak mądry aby był wstanie wytłumaczyć mi krok po kroku abym zrozumiała i potrafiła obliczać różnowartościowość? kompletnie tego nie rozumiem Na tym przykładzie 3x³*arcsin2x Z góry dzieki za pomoc

Różno: Nie ma tutaj nikogo takiego ?

PW: Nie tyle "obliczać" co "wykazywać", "udowodnić". To proste: 1. ustalić dziedzinę funkcji 2. wziąć x₁,x₂ należące do dziedziny, takie że x₁ < x₂ (teoretyczne, nie żadne konkretne) i zobaczyć, czy f(x₁) < f(x₂), czy odwrotnie − f(x₁) > f(x₂). Jeżeli jedna z tych nierówności ma miejsce zawsze (niezależnie konkretnych wartości x₁ i x₂, byle spełniały nierówność (1)), to funkcja jest monotoniczna.

Różno: A mógłbyś mi to rozpisać na tym przykładzie co podałam? Byłabym mega wdzięczna!

PW: A jaka jest dziedzina funkcji arcsin(2x)?

Różno: arcsinx= (−1; π/2)

PW: Nie. Tak w ogóle przyjrzyj się temu co napisałaś − wartość funkcji równa się przedziałowi? Spokojnie, nie chcę Cię dręczyć. Jakie wartości przyjmuje funkcja sin(2x)? − To jest dziedzina funkcji arcsin(2x) zgodnie z zasadą − jeżeli istnieje funkcja odwrotna, do f, to jej zbiór wartości jest dziedziną funkcji odwrotnej f⁻¹.

PW: Może lepiej powinienem spytać: Jakie wartości przyjmuje funkcja sin(u).

Różno: Kompletnie tego nie rozumiem

PW: Oznacza to, że nie masz kłopotów z monotonicznością czy różnowartościowością. Po prostu nie rozumiesz pojęcia funkcji odwrotnej. Popatrz tam, gdzie mówią o funkcjach odwrotnych do trygonometrycznych, czy w ogóle o funkcjach odwrotnych. Przecież arcsin(u) jest funkcją odwrotną do funkcji sin(t). Dziedziną braną pod uwagę przy odwracaniu funkcji sinus jest

	π		π
[−		,		]. Przyjmuje ona na tym przedziale wartości od −1 do 1 − i to jest dziedzina
	2		2

funkcji odwrotnej. arcsin(u) działa tak, że liczbom z przedziału [−1,1] przyporządkowuje

	π		π
liczby z przedziału [−		,		]..
	2		2

Stawiamy sobie pytanie: skoro dziedziną funkcji arcsin(u) jest przedział [−1,1], a my mamy funkcję złożoną arcsin(2x), to skąd możemy brać te "2x"?

Różno: Że to jest 2−krotnosc tego? nie wiem..

Różno: albo, że dla danego x któery otrzymamy i weźmiemy wartość z przedziału trzeba pomnożyć przez 2?

PW: Argumenty naszej funkcji arcsin(2), czyli liczby 2x, możemy brać z przedziału [−1, 1]. −1 ≤ 2x ≤ 1, czyli

	1		1
−		≤ x ≤		.
	2		2

Druga występująca w zadaniu finkcja g(x)=x³ nie ma żadnych ograniczeń co do dziedziny, zatem dziedziną funkcji

	1		1
f(x) = 3x3arcsin(2x) jest przedział [−		,		].
	2		2

	1		1
Bierzemy dwie dowolne różne liczby z przedziału [−		,		] i pokazujemy, że
	2		2

f(x₁) ≠ f(x₂). Dla różnowartościowości tyle wystarczy − różnym iksom przyporządkowane różne wartości. To "pokazanie" nie polega na konkretnych rachunkach, ale na skorzystaniu z własności funkcji g(x) = x³ i h(x) = arcsin(2x) − funkcje te są monotoniczne.