gu Radek: Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x²+mx+12 różnią się o 1, oblicz te piwerwiastki ja mam takie założenia Δ≥0 |x₁−x₂|=1 a w arkuszu Δ>0 to nie wpływa na rozwiązanie bo liczyłem ale czemu takie założenie odnośnie Δ?

5-latek: Jesli te pierwiastki roznia sie o 1 to beda to dwa rozne pierwiastki wiec delta >0

J: Bo jeśli Δ = 0 to x₁ = x₂ (pierwiastek podwójny)

Radek: dziękuję

PW: Spróbujmy oderwać się od schematu "funkcja kwadratowa − delta − wzory Viete'a".

	1		1
f(x) = (x−		)(x+		)
	2		2

jest przykładem funkcji, której miejsca zerowe różnią się o 1. Wszystkie inne funkcje kwadratowe o takim samym współczynniku przy x², w tym zadana g(x) = x² + mx + 12, które mają tak oddalone miejsca zerowe, są efektem przesunięcia wykresu o wektor [p,0] (równolegle do osi OX). Liczba p może być dowolną liczbą rzeczywistą. Musi być więc g(x) = f(x−p)

	1		1
x2 + mx + 12 = (x − p −		)(x − p +		)
	2		2

	1
x2 + mx + 12 = (x − p)2 − (		)2
	2

	1
x2 + mx + 12 = x2 − 2px + p2 −		.
	4

Przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach daje

	1
m = −2p i 12 = p2 −
	4

m = −2p i 48 = 4p² − 1 m = −2p i 49 = (2p)² m = −2p i (2p = 7 lub 2p = −7). Odpowiedź: m = −7 lub m = 7.

ICSP:

Mila: Δ>0 ( 2różne pierwiastki trójmianu kwadratowego) Δ=m²−48 m<−4√3 lub m>4√3≈6.9 |x₁−x₂|=1

	−b−√Δ		−b+√Δ
|		−		|=1⇔
	2		2

√Δ=1 /²⇔ m²−48=1 m²−49=0 m=7 lub m=−7 odp.

Radek: Ale niech Pani spojrzy tutaj: Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania 2x²+(1−2m)x−m jest mniejsza od 5 i tutaj w arkuszu mam założenie Δ≥0 bo delta wychodzi 4m²+4m+1≥0 (2m+1)²≥0 m∊R bo jesli miałbym Δ>0

	1
to m∊R\{−		}
	2

Tak ?

J: Bo nawet jesli Δ = 0 , to x₁ = x₂ i Ix₁ − x₂I = 0 < 5

Piotr 10: Jeśli nie ma słowa '' różnych pierwiastków'' to Δ ≥ 0

Mila: Tutaj : |x₁−x₂|<5 to znaczy, że może być równa 0, a wtedy x₁=x₂, zatem Δ≥0

Radek: Dziękuję.

Radek: Jeszcze będę wieczorem maił kilka pytań

Radek: Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b prawdziwa jest nierówność.

	a		a		b
log		(1−log		)≥log		+1
	b		b		a

	a		a		b
log		−log2		−log		−1≥0
	b		b		a

	a
−log2		+loga−logb−(logb−loga)−1≥0
	b

	a
−log2		+loga−logb−logb+loga−1≥0
	b

	a
−log2		+2loga−2logb−1≥0
	b

	a
−log2		+2(loga−logb)−1≥0
	b

	a		a
−log2		+2log		−1≥0 /(−1)
	b		b

	a		a
log2		−2log		+1≥0
	b		b

	a
(log		−1)2≥0
	b

C.N.W ?

Radek: ?

ZKS: Komentarz na końcu i . Tylko że wcześnie dużo wcześniej wystarczyło zauważyć że

	b		a		a
log (		) = log (		)−1 = −log (		) i nie musiał byś tych milion przekształceń
	a		b		b

robić.

ZKS: Chociaż jest źle. Mnożąc przez −1 nie zmieniasz zwrotu nierówności.

ICSP: Trzecia linijka od końca. Przemnożenie nierówności przez −1 zmienia jej znak !

Radek: wyjściowy znak jest ≤ przepraszam

Radek: Suma czterech początkowych wyrazów dwudziestowyrazowego ciągu arytmetycznego wynosi 11, a suma kolejnych trzech następnych wyrazów wynosi 24 a) który ciąg jest o 12 większy od pierwszego wyrazu n=9 tak wyszło b) oblicz sumę parzystych wyrazów tego ciągu S=155 a w odp 70?

Radek: ?

Radek: ?

Mila: Dobrze masz. Chyba,że inna treść zadania.

Radek: Dziękuję. Treść zadania jest prawidłowa, Testy R aksjomat (zielone)

Radek: Teraz zadanie z Pazdro bo też się nie zgada oblicz log₆2*log₆18+log²₆3

	36		6
log62*log6		+(log6		)2
	2		2

log₆2*(log₆36−log₆2)+(log₆6−log₆2)² log₆2(2−log₆2)+(1−log₆2)² 2log₆2−log²₆2+1−l2og₆2+log²₆2=1

Radek: Można jakoś inaczej rozpisać ?

Mila: Można : log₆(2)*log₆(2*3²)+log²₆(3)= =log₆(2)*(log₆(2)+2log₆(3))+log²₆(3)= =log²₆(2)+2log₆(3)*log₆(2)+log²₆(3)= =(log₆(2)+log₆(3))²=(log₆(6))²=1

Radek: Dziękuję. Jednak dobrze mi wyszło..

Radek: oblicz wartość wyrażenia a^−b

	log1003		log1005
a=(5		*3		)2log158
	log3		log5

b=⁴√36−16√5*√4+2√5 wychodzi mi a=8 b=2 lub b=−2 więc

	1
64 lub
	64

	1
w odpowiedzi tylko		?
	64

Mila: Dobrze Ci wyszło 22:12. Ostatnie sprawdzam.

Mila: b=2 pierwiastek z liczby nieujemnej nie może być ujemny. √4=2

Radek: b=⁴√36−16√5*√4+2√5 /⁴ b⁴=(36−16√5)*(4+2√5)² b⁴=(36−16√5)(16+16√5+20) b⁴=(36−16√5)(36+16√5) b⁴=36²−(16√5)² b⁴=16 b=2 lub b=−2

Mila: Na początku założenie b>0 Inaczej to liczę, ale to jutro Ci napiszę. Napisz jak policzyłeś a. Dobranoc

Radek: Wstawię jutro zdjęcie, bo ciężko tutaj to napisać.. Dziękuję bardzo i dobranoc.

Radek: http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/384212fe0bfbbc4b.html

Mila: b=⁴√36−16√5*⁴√(4+2√5)²= ⁴√(36−16√5)*(36+16√5)=⁴√16=2

Radek: Ale prawdą jest, że ⁴√16=2 lub −2 (−2)⁴=16

Mila: Na obrazku: a=8 a nie 64 Dalej: b=2

	1		1
a−b=8−2=(		)2=
	8		64

Mila: Nie jest to prawdą , co napisałeś 16:59 ⁴√a⁴=|a| Pomyliłeś z rozwiązaniem równania. x⁴=16⇔ (x⁴−16)=0⇔ (x²−4)*(x²+4)=0⇔ (x−2)*(x+2)=0 x=2 lub x=−2

Radek: To jak to po kolej rozpisać ?

Mila: Masz obliczone a. a=8 zał. b≥0 i Twoje obliczenia albo skorzystaj z tego co ja napisałam 16:56 ⇔ b=2

	1
8−2=
	64

Radek: Ale czemu Pani daje założenie b≥0 ?

Mila: Przecież liczysz pierwiastki:( w R) √16=4 √25=5 itd. Dajesz założenie, bo wykorzystujesz równanie 4 stopnia. Ja skorzystałam tylko z definicji pierwistka o parzystym stopniu Definicja pierwiastka o parzystym stopniu. np. √a²=|a| ⁴√a⁴=|a| Natomiast ³√a³=a i tak ³√−8=−2

Radek: Dziękuję choć nadal myślę,że −2 też może być.

Mila: Nie może być w tym zadaniu. ⁴√16=|2|=2 i tylko tyle.

Radek: Dziękuję już zrozumiałem a takie zadanie

	4
kąt α jest taki, że sinα+cosα=
	3

Oblicz wartość wyrażenia sin³α+cos³α

	4
sinα=		−cosα
	3

i podstawić do wzoru ?

Mila: Może rozłóż sin³x+cos³x ze wzoru (a³+b³) i zobaczysz co dalej.

Saizou : a ja wolę rozpisać wzór (a+b)³

Radek: (sinα+cosα)(sin²α−sinαcosα+cos²α) (sinα+cosα)(1−sinαcosα)

	4		4
(		−cosα+cosα)(1−(		−cosα)cosα)
	3		3

4		4
	(1−		cosα−cos2α)
3		3

4		16		4
	−		cosα−		cosα=0 ?
3		9		3

ok jak do tej pory ?

Mila: Jeśli kąt jest ostry.

	4
(sinx+cosx)2=(		)2 z tego oblicz (sinx *cos) i podstaw w drugiej linijce z 18:54
	3

Radek: a mój sposób jest ok?

Mila: Dlaczego równe 0? Zrób jak podpowiedziałam.

Radek: Ale nie rozumiem Pani zapisu. I dlatego próbuję inaczej to zrobić

Mila: Masz podane :

	4
sinα+cosα=		podnieś obie strony do kwadratu.
	3

Radek: Zawsze tam mogę podnosić do kwadratu ?

Mila: Jeśli obie strony są dodatnie to tak.

Radek: Dziękuję, a ma Pani jeszcze czas dziś?

Mila: Jestem. No i jaki masz wynik?

Radek:

22
27

Przeważnie na maturze R są zadania z prawdopodobieństwa i kombinatoryki z kostkami i zapisem ?

Mila: Nie tylko.

Radek: Ale przeglądając i robiąc arkusze a matur majowych spotyka się takie zadania przeważnie i mam właśnie kilka takich zadań i proszę o wytłumaczenie

Mila: Pisz.

Radek: Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3

zawodus: zadanie z maturki widzę leci pomyśl jakie muszą być reszty z dzielenia przez 3 mieć te liczby, żeby ich suma dawała resztę 0.

Radek: Nie wiem jak zacząć właśnie

Mila: No to licz. |Ω|=? 1²=1 2²=4=3*1+1 3²=9=3*3 4²=16=3*5+1 5²=25=3*8+1 6²=36=3*12 Pomyśl jakie maja być trójki aby suma kwadratów dzieliła się przez 3.

Radek: Ω=126 muszą być parzyste ?

Mila: |Ω|=6*6*6=216 Muszą być 3 liczby podzielne przez 3 . czyli ciągi {x₁,x₂,x₃} gdzie x_i∊{3,6} albo 3 liczby , których kwadraty dają po podzieleniu resztę 1 np(1,2,4) bo masz wtedy sumę: 1+4+16=21 i to dzieli się przez 3 czyli ciągi {x₁,x₂,x₃} gdzie x_i∊{1,2,4,5} Czy może być jeszcze inna możliwość? Licz.

Radek: Nie ma innych możliwości ?

zawodus: A ile naliczyłeś?

Radek: Tylko te możliwości od Pani Mili

zawodus: czyli ile?

Mila: No właśnie jak i ile? Wyjaśnij, to zobaczymy, czy dobrze rozumujesz.

Radek: 64

Mila: Mało. Napisz jak liczysz.

Radek: Liczby nie dzielą się przez 3 4*4*4=64

Mila: A−suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3. Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A ciągi: {x₁,x₂,x₃} gdzie x_i∊{3,6} Liczba tych ciągów 2³=8 ciągi : {x₁,x₂,x₃} gdzie x_i∊{1,2,4,5} Liczba tych ciągów 4³=64 Razem: 64+8=72

	72		2		1
P(A)=		=		=
	216		6		3

Radek: Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12. 6,2,1,1,1,1,1,1 1,3,4,1,1,1,1,1 2,2,3,1,1,1,1,1 ?

Mila: Mogą być sutuacje:

	8!
a) (2,6,1,1,1,1,1,1) ile ich jest ?		=7*8=56 permutacje z powtórzeniami
	6!

	8 2
albo liczysz tak :		*2! kombinacje − wybierasz 2miejsca dla 2 i 6, permutacja 2!

b) (3,4,1,1,1,1,1,1) ile ich jest ? c)(3,2,2,1,1,1,1,1) ile ich jest ?

Radek:

	7 6
b)		*7*8

	8 5		3 2
c)		*		*3 ?

Marcin: b) 8*7, tak samo jak a)

	7 2
c) 8*

Radek: A no tak c ?

Marcin: No wybierasz sobie trójkę na 8 sposobów i na pozostałych 7 miejscach ustawiasz dwie dwójki,

	7 2
czyli

Radek: ?

Marcin: Co niezrozumiale napisałem?

Radek: Czemu moje jest źle ?

Marcin: Powiedz mi dlaczego mnożysz to wszystko razy trzy, skoro masz już 7 miejsc ustawionych?

Radek: Czyli tylko dwa pierwsze dwumiany

Marcin: No tak, ale wiesz już dlaczego?

Radek: Tak dziękuję

Marcin: Proszę bardzo

Mila:

	8 1		7 2
c)		*		jedno miejsce dla 3 , potem 2 miejsca z 7 dla dwójek, na pozostałych

miejscach są jedynki (c) U Ciebie Tak może być:

8 5		3 2
	*		*1 bo zostało tylko jedno miejsce .

Radek: Dziękuję Pani zrozumiałem

Mila: dla obu Panów.

Radek: Dla Pani to się należy bukiet

Marcin: Ale miło dla Pani.

Mila: Dobranoc

Radek: Dobranoc. Jutro chciałbym zrobić arkusz na forum, jeśli Pani pomoże to fajnie

Mila: Pomogę, pomogę.

Fleur: dla Radka i Marcina.

Marcin: 13 min przed końcem walentynek. Zaliczone