metryka
matstud: (R,δ) Czy jest metryką ? Zbadać?
| | ⎧ | |x−y |gdy x,y∊ℚ v x,y∉ℚ | |
| |δ| = | ⎨ | |
|
| | ⎩ | 3 gdy w przeciwnym wypadku | |
1.
12 lut 21:36
PW: A spróbuj policzyć dla trójki 1, √2 , 8.
12 lut 21:46
matstud: 
mam problem z nierównością trójkąta.
dla x,y∊ℚ v x,y∉ℚ
δ(x,y)=|x−y|≤|x−z|+|z−y|=δ(x,z)+δ(z,y)
gdy w przeciwnym wypadku
δ(x,y)=3≤δ(x,z)+δ(z,y)
12 lut 21:56
PW: Jeżeli podejrzewasz, że to nie jest metryka − szukaj kontrprzykładu. Wystarczy pokazać trójkę
konkretnych elementów, dla których nierówność nie jest spełniona.
W definicji jest: "dla każdych x,y,z spełniona jest nierówność". Zaprzeczenie tego to "istnieją
takie x,y,z, dla których nierówność nie jest spełniona"
12 lut 22:04
matstud: ale o co chodzi w ogóle 1,√2,8 co mam sprawdzić?
12 lut 22:06
matstud:
12 lut 22:15
matstud:
12 lut 22:21
PW: No nierówność trójkąta − spełniona, czy nie?
12 lut 22:22
matstud: tak ale czy dobre są warunki? Trzeba dodać coś jeszcze ?
12 lut 22:33
PW: Nie rozumiem tego "czy dobre są warunki". Metryka działać ma na dowolnych punktach, w
szczególności musi dać się obliczyć δ(1,√2) − patrzymy w definicji − jest, to będzie 3, bo
liczby 1 i √2 spełniają warunki "dolnej definicji". Podobnie δ(√2,8} = 3, natomiast δ(1,8)
= 7 ("górna definicja").
δ(1,√2) + δ(√2,8) = 3+3 < 7 = δ(1,9)
− nie jest spełniona nierówność trójkąta. Funkcja δ nie jest metryką.
12 lut 23:02
PW: Chochlik − powinno być δ(1,8) w przedostatnim wierszu.
12 lut 23:03
matstud: ale dlaczego sumujemy δ(1,√2) δ(√2,8)
12 lut 23:06
matstud: już wiem
12 lut 23:12
matstud: to tutaj mam błąd:
gdy w przeciwnym wypadku
δ(x,y)=3≤δ(x,z)+δ(z,y)?
12 lut 23:15
PW: Idziemy "po trójkącie" − najpierw od 1 do √2, potem od √2 do 8 i porównujemy sumę tych dróg
z "odległością bezpośrednią" od 1 do 8.
Nie zastanawiamy się jak to wygląda na rysunku, bo żadnego trójkąta przecież nie zobaczymy −
wszystko dzieje się w zbiorze R. Pojęcie metryki to teoretyczne uogólnienie pojęcia
odległości, jaką mierzymy na płaszczyźnie − ma działać w dowolnym zbiorze i może być to
dowolna funkcja przyporządkowująca każdej parze elementów tego zbioru liczbę rzeczywistą
nieujemną (byle spełniala warunki definicji metryki). Właśnie nam wymyślili taką dziwną
funkcję δ działającą na pary liczb rzeczywistych − mamy sprawdzić, czy ta funkcja nadaje się
na metrykę. Nie nadaje się, bo pokazaliśmy przykład trzech punktów, dla których nierówność
trójkąta nie jest spełniona.
12 lut 23:18
matstud: jaki jest sposób na to aby szybko sprawdzić czy funkcja jest metryka?
12 lut 23:56
matstud:
13 lut 00:29
matstud:
13 lut 00:36
matstud:
13 lut 00:57
matstud:
13 lut 01:02