calkodna zombi: Witam, mam takie ustrojstwo do policzenia, a nie chce naginać zasad ani wymyślać własnych twierdzeń

d
	∫0cosx3 et2
dx

f(t) = e^t2 h(x) = cosx³ g(x)=0 I wolfram pokazuje taki wynik =f(h(x)) * h'(x) Tutaj pojawia się moje pytanie, podejrzenie, czy jest możliwość, żeby ta całka wyszła f(h(x)) * h'(x) ± f(g(x)) * g'(x) jeśli tak, to jak się nazywa to coś lub co to za własność oraz czy w ogóle ∫ e^t2 jest policzalna. Prosiłbym o podpowiedzi, z góry wielkie dzięki!

Trivial: Po czym jest całka!

PW:

	d
Masz obliczyć pewną pochodną (stąd		). Różniczkowana funkcja to funkcja zmiennej x, a
	dx

właściwie funkcja złożona, której argumentem − funkcją "wewnętrzną" jest cos³x). Niestety ten argument to górna granica całkowania w pewnej całce oznaczonej.

PW: Dobrze rozumiem? Rzeczywiście nie ma tego iksa i nie ma "dt".

Trivial: Jak policzyć taką pochodną? Prosto. Założyć, że znasz wynik. Niech F'(t) = e^t2 wtedy

	d		d
		∫0cos(x3) et2dt =		[F(cos(x3)) − F(0)]
	dx		dx

= F'(cos(x³))*(−sin(x³))*3x² = −3x²e^cos2(x3)sin(x³).

PW: No prościzna. Najpiękniejszy jest ten moment: wcale nie musimy umieć policzyć całki, żeby rozwiązać problem.

wredulus_pospolitus: no nie nie ... właśnie musimy umieć liczyć całki ... a raczej − znać teorię odnośnie całki oznaczonej − a z tym bywa o wiele gorzej jak z rozwiązywaniem całek

PW: Założenia, uzasadnienia ... Masz głęboką rację. Skupiamy się zwykle na technicznych problemach − jak to policzyć, a już mało kiedy piszemy czy to w ogóle ma sens. Ba, spotykam się z reakcjami typu "co tu się wymądrzasz", kiedy staram się przypomnieć "co liczymy i dlaczego tak", a nie "jak to policzyć".

zombi: Aha, no tak, nie muszę nawet jej liczyć. Skoro i tak policzę pochodną po x, więc będę potrzebował tak czy siak F'(x) a nie funkcję pierwotną, ale głupek ze mnie. Dzięki wielkie! Tam oczywiście miało być dt.

zombi: BTW. ta całka ∫ e^t2 dt jest policzalna?

Trivial: A co masz na myśli mówiąc "policzalna"?

zombi: Tzn. da się ją jakoś w prosty sposób policzyć, przez części, podstawienie?

Trivial: Da się ją policzyć tylko w sposób trywialny.

zombi: A dałbym to radę policzyć bez jakiejś wielkiej teorii? Jak tak, to podpowiedź jakaś ?

Trivial: Przykładowy sposób: rozwinięcie e^t2 w szereg potęgowy i całkowanie wyraz po wyrazie...

	t2n		t2n+1
∫et2dt = ∑n=0..∞ ∫		dt = c + ∑n=0..∞		.
	n!		(2n+1)*n!

Tylko co dalej zrobić z takim wynikiem? Na pewno można łatwo policzyć wartości numeryczne.

Trivial: Są też sposoby na wyliczenie dokładnych wartości podobnej całki w pewnych granicach. Przykładowo: u = ∫_−∞^+∞ e^−t2/2dt Jako, że e^−t2/2 > 0 dla każdego t, to mamy: u > 0 oraz: u² = ∫_−∞^+∞ e^−t2/2dt * ∫_−∞^+∞ e^−t2/2dt = ∫_−∞^+∞ e^−x2/2dx * ∫_−∞^+∞ e^−y2/2dy = ∬_R² e^−(x2+y2)/2dxdy Stosując przejście na współrzędne biegunowe mamy:

	⎧	0 < r < ∞
G :	⎨
	⎩	0 ≤ φ ≤ 2π

u² = ∬_G e^−r2/2*rdrdφ = −2π∫₀^+∞ e^−r2/2*(−r)dr = −2π[e^−r2/2]₀^+∞ = 2π. A zatem ∫_−∞^+∞ e^−t2/2dt = √2π. Całka ta jest ważna, ponieważ występuje w rozkładzie normalnym. Normalizując całkę do jedynki otrzymamy funkcję gęstości rozkładu Gaussa

	1
f(x) =		e−x2/2
	√2π

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny

zombi: wow, niee to jednak nie dla mnie.