Jak sprawdzić pierwiastek wielomianu zespolonego xcv: Jak sprawdzic ze (z−1) jest pierwiastkiem wilomianu z3−(3+2i)z2+(2+6i)z−4i podstawialem i mi glupoty wyszly

PW: z jest zmienną, wiec pytanie − czy (z−1) jest pierwiastkiem? jest bez sensu (pierwiastek to konkretna liczba). Pewnie źle przepisane polecenie.

xcv: faktycznie moj blad ledwo na oczy patrze no dobrze to na innym przykladzie z⁴−6z³+18z²₃0z+25 pierwiastkiem tego jest (2−i) jak to sprawdzic?

Janek191: W miejsce z wstawiamy 2 − i , wykonujemy obliczenia − musi wyjść 0. Przepisz wielomian,bo brakuje znaku między 18 z² , a 30 z .

xcv: "−" bedzie no wlasnie tak robilem ale mi jakies glupoty wychodza

Janek191: W(z) = z⁴ − 6 z³ + 18 z² − 30 z + 25 zatem W( 2 − i ) =( 2 − i)⁴ − 6 *( 2 − i)³ + 18*( 2 − i)² − 30*( 2 − i ) + 25 = = [ ( 2 − i)²]² − 6*[( 2 − i)²*( 2 − i)] + 18*( 4 − 4 i + i²) − 60 + 30 i + 25 = = [ 4 − 4i + i²]² − 6*[ ( 4 − 4i − 1)*( 2 − i)] + 18(4 − 4 i − 1) + 30 i − 35 = = ( 3 − 4i)² − 6*( 3 − 4i)*( 2 − i) + 18*( 3 − 4 i) + 30 i − 35 = = 9 − 24i + 16 i² − 6*(6 − 3i − 8i + 4i²) + 54 − 72 i + 30 i − 35 = = 9 − 24i − 16 − 6*( − 11 i + 6 − 4) + 19 − 42 i = = − 7 − 24i + 66 i −12 + 19 − 42 i = − 19 + 19 + 66 i − 66 i = 0 Pamiętamy, że i² = − 1

xcv: dzieki wielkie glupi blad robilem

PW: Można zwyczajnie podstawić z=2−i i liczyć, liczyć ... aż przekonamy się, że jest to zero. Nudne, ale skuteczne. Można pomyśleć leniwie: znane jest twierdzenie: Jeżeli wielomian W(z) ma pierwiastek zespolony z₀, to również ma pierwiastek z₀⁻ (ta kreseczka to sprzężenie). Jeżeli wielomian dzieli się przez z−z₀, to również dzieli się przez z−z₀⁻, czyli dzieli się przez (z−z₀)(z−z₀⁻) = z²− (z₀+z₀⁻)z + z₀z₀⁻. Nasz wielomian powinien się więc dzielić przez z² −(2−i+2+i)z+(2−i)(2+i) = z² − 4z + 5. Wykonujemy dzielenie (szczegóły pomijam): z⁴−6z³+18z²−30z+25 : z²−4z+5 = z²−2z+5 − udało się, liczba 2−i jest pierwiastkiem wielomianu W.

xcv: ta druga czesc to juz zrobilem i faktycznie nie wpadlem na to ze tak mozna to udowodnic

PW: Tylko sprawdź, czy nie wymyśliłem sobie twierdzenia (jakie są założenia).

xcv: Jezeli 2−i jest pierwiastkiem wielomianu to 2+i tez nim bedzie. Zalozenie P(x)=[z−(2−i)][z−(2+i)] tak wiec W(x)/P(x) musi sie dzielic bez reszty ⇔ z1=2−i oraz z2=2+i tyle wystarczy napisac ?

PW: Wydaje mi się, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, dlatego prosiłem żebyś sprawdził założenia.

xcv: nie tylko sprawdzilem w zeszycie