Nierówności z wartością bezwzględną dvq: Witam! mam do rozwiązania różne nierówności typu |x−4|−|x−2| > 2 kiedy mam brać sobie część wspólną przedziałów z przypadków, a kiedy sumę tych przedziałów?

Alfa: w przypadku tej nierówności masz do rozpatrzenia trzy przedziały: 1) dla x∊(−∞,2) 2) dla x∊<2,4) 3) dla x∊<4,+∞)

dvq: Tak tak wiem o przedziałach. Chodzi mi o późniejsze połączenie ich. W niektórych nierównościach trzeba wyciągnąć część wspólną, a w niektórych sumę przedziałów. I chodzi mi kiedy część wspólną a kiedy sumę

Marcin: Patrzysz sobie co Ci wychodzi w danym przedziale, a później porównujesz do dziedziny. później tylko łączysz te zbiory.

Alfa: najpierw bierzesz część wspólną rozwiązania i przedziału, w którym wyszło to rozwiązanie. Na koniec bierzesz sumę tych "części wspólnych"

dvq: a nie ma jakiegoś wyjątku że jak np tu |x−4|−|x−2| > 2 zmienił mi się znak na |x−4|−|x−2| < 2 to na końcu nie suma tylko część wspólna?

Alfa: a dlaczego ma Ci się zmienić znak nierówności?

etwas: chodzi mi o dwa różne przykłady

pigor: ..., no to może chcesz np. tak : |x−4|−|x−2| >2 ⇔ |x−4| >2+|x−2| ⇔ x−4< −2−|x−2| v x−4 >2+|x−2| ⇔ ⇔ |x−2|< −x+2 v |x−2|< x−6 − obie nierówności sprzeczne co widać na wykresach L i P strony tych nierówności, a więc i ich alternatywa, czyli tym samym dana nierówność sprzeczna, chyba, że coś ... bredzę, za co z góry może przeproszę, bo już czas spać ; dobranoc .

PW: Nie bredzisz, pigor. Na pewno spodoba Ci się − mistrzowi krótkich wypowiedz − taki sposób. Wiadomo, że dla dowolnych a,b∊R | |a| − |b| | ≤ |a + b| Biorąc a = x − 4 i b = 2 − x dostajemy (*) ||x − 4| − |2 − x|| ≤ |(x−4) + (2 − x)| ||x − 4| − |x − 2|| ≤ |−2| = 2, zatem |x − 4| − |x − 2| ≤ 2, co oznacza, że nierówność przeciwna jest fałszywa dla dowolnej x∊R. I to jest to, co kochają tygrysy − żadnego "rozbijania na przedziały", żadnych rysunków − patrzysz i mówisz: − Przecież (*) − to jest oczywiste.

pigor: ...; o pięknie PW i o to mi zawsze chodziło, bo "szukajcie, a znajdziecie. .."