Oblicz długość odcina w trójkącie prostokątnym. rieux: W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne AC i BC mają odpowiednio długości 5cm i 12cm. Dwusieczna CD i środkowa AE przecinają się w punkcie P. Oblicz długość odcinka PC

5-latek: Rysunek do zadania

Janek191: I AE I² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61 I AE I = √61 I CE I = 6 a = I PE I h = I PR I = I CR I x = I PC I

a		h
	=		⇒ 5a = h √61 ⇒ 25 a2 = 61 h2
√61		5

oraz ( 6 − h)² + h² = a² ⇒ 36 − 12 h + h² + h² = a² ⇒ 900 −300 h + 50 h² = 25 a² zatem 50 h² − 300 h + 900 = 61 h² 11 h² + 300 h − 900 = 0 Δ = 90 000 − 4*11*(−900) = 90 000 + 39 600 = 129 600 √Δ = 360

	− 300 + 360		60		30
h =		=		=
	22		22		11

oraz

	30
x = h √2 =		√2 ≈ 3,86
	11

	30
Odp.		√2 cm
	11

=============

rieux: dziękuję

Bogdan: albo korzystając z narzędzi geometrii analitycznej:

	5
k1: y = x, k2: y = −		x + 5
	6

	5		30		30
P = k1∩k2 ⇒ x = −		x + 5 ⇒ x =		i y =
	6		11		11

	30
|CP| = √(30/11)2 + (30/11)2 =		√2
	11

Bogdan: Mimo, że zadanie jest sprzed kilku godzin i jest już rozwiązane, to wracam do niego, ponieważ chcę pokazać bardzo proste rozwiązanie.

	5		x		30
Trójkąty ACG i PFG są podobne, stąd		=		⇒ 30 − 5x = 6x ⇒ x =
	6		6 − x		11

	30
|CP| = x√2 =		√2
	11

Kacper: Biorę