półgrupa algebra: W zbiorze Q² par liczb wymiernych określone jest działanie: (a,b)□(c,d)=(a+c+ac,bd) Wiedząc że struktura algebraiczna (Q²,□) jest półgrupą, zbadać czy jest ona grupą. czyli jeśli jest półgrupą, więc działanie wewnętrzne jest spełnione, łączność też. Trzeba sprawdzić element neutralny i symetryczny. (a+e+ae,bf)=(e+a+ea,fb)=(a,b) (e+a+ea,fb)=(a,b) e+a+ea=a fb=b e(1+a)=0 fb−b=o b(f−1)=0 czyli z tego wynika że a=−1, b=0 i jak dalej sobie z tym poradzić?

PW: Gdyby (e,f) był elementem neutralnym (lewostronnym), to (e,f)□(a,b) = (a,b) dla wszystkich a i b ∊Q Zgodnie z definicją działania "□" e,f)□(a,b) = (e+a+ea,fb), czyli musiałoby być (e+a+ea,fb), = (a,b) skąd e+a+ea = a i fb=b e(a+1) = 0 i fb = b dla wszystkich a,b∊Q Wniosek: e=0 i b=1. Elementem neutralnym lewostronnym jest (0,1). Sprawdzamy, czy jest też elementem neutralnym prawostronnym. Musiałoby być (a,b)□(0,1) = (a,b) dla wszystkich a,b∊Q, to znaczy (a+0+a•0,b•1) = (a,b) − co jest prawdą, a więc (0,1) jest elementem neutralnym.

PW: A jak to jest w definicji grupy? Musiał być lewo− i prawostronnie neutralny? Sprawdź.

algebra: a w tym pierwszym wyznaczamy (a,b) czy (e,f), bo z tego wynika że wyznaczono (e,b)?

algebra: w definicji grupy jest że: działanie □ jest wewnetrzne,działanie□ jest łączne, w zbiorze A istnieje element neutralny działania □, do każdego elementu zbioru A istnieje element symetryczny

PW: Pomyłka literowa. Z równości fb=b prawdziwej dla wszystkich b wynika f=1, dalej jest dobrze: (e,f) = (0,1). Dziękuję za uważną lekturę. A jak to jest w definicji grupy − sprawdziłeś?

algebra: co do grupy to tylko tyle mam podane, nic nie pisze o lewo i prawostronności

PW: https://www.megamatma.pl/uczniowie/Studia/algebra/struktury-algebraiczne-grupy-pierscienie-ciala O to pytam − jeżeli przyjęliście definicję jak tam w 1. − 4., to trzeba było tylko sprawdzić, czy istnieje element neutralny prawostronny, natomiast element odwrotny musi "działać z obu stron", to znaczy dla dowolnej pary (a,b) musi istnieć (x,y) taki, że (a,b) □ (x,y) = (0,1) i (x,y) □ (a,b) = (0,1).

algebra: 1−2 tak samo w 3) element neutralny a□e=e□a=a 4)element symetryczny a□b=b□a=e

PW: No to dobrze, mamy sprawdzone, że (0,1) działa "z obu stron" jako element neutralny. Taką przyjęliście definicję i w porządku. Można dodać, że wystarczyło w definicji założyć istnienie elementu prawostronnego neutralnego, tak jak to zrobili w www.megamtma.pl ... To, że ten sam element jest jednocześnie lewostronnym elementem neutralnym można udowodnić korzystając z warunku 4. Pozostało Ci sprawdzenie, czy istnieje element odwrotny dla każdego (a,b) − tak jak napisałem o 12:10.

algebra: czyli: (a,b)□(c,d)=(c,d)□(a,b)=(e,f) (a+c+ac,bd)=(c+a+ca,db)=(0,1) c+a+ca=0 db=1 c(1+a)=−a c= ^−a_1+a d= ¹_b

algebra: no i trzeba założyć jeszcze że a≠ −1

algebra: i b≠0

algebra: czy to świadczy że istnieje element symetryczny?

PW: Dla (a,b) = (a,0) mamy (a,b)□(x,y) = (0,1) ⇔ (a,0)□(x,y) = (0,1) ⇔(a+x+a•x,0•y) = (0,1) ⇔ (a+x+ax,0) = (0,1), co nie jest prawdą (drugie współrzędne są różne). Dla (a,0) nie istnieje więc element odwrotny. Struktura nie jest grupą.

algebra: Dziękuję bardzo, już teraz chyba to zrozumiałam