udowodnienie wzorów area - pomóżcie Monika: Mam pytanie:czy ktoś potrafi udowodnić poniższe wzory area? arsinhx=ln (x+√x²+1) arcoshx=ln (x+√x²−1)

	1		1+x
artghx=		ln(		)
	2		1−x

	1		x+1
arctghx=		ln(		)
	2		x−1

z góry wielkie dzięki.

matematt.: Skad to jest? To z poziomu liceum? Wydaje mnie sie ze nie...

Bogdan: Pokażę artgh(x), pozostałe wykazuje się podobnie. Funkcje area to funkcje hiperboliczne odwrotne, są one odwrotne do funkcji hiperbolicznych: sinh(x), cosh(x), tgh(x), ctgh(x).

	ex − e−x		ex + e−x
sinh(x) =		, cosh(x) =
	2		2

	ex − e−x		ex − e−x
tgh(x) =		, ctgh(x) =		.
	ex + e−x		ex + e−x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1		1 + x
Wykazuję, że artgh(x) =		ln
	2		1 − x

	ex − e−x
tgh(x) =		, Wyznaczam funkcję odwrotną do y = tgh(x)
	ex + e−x

	ex − e−x		y		1
y =		⇒ yex +		= ex −		/ * ex
	ex + e−x		ex		ex

ye^2x + y = e^2x − 1 ⇒ 1 + y = e^2x(1 − y)

	1 + y		1 + y
e2x =		⇒ 2x = ln
	1 − y		1 − y

	1		1 + y
x =		ln
	2		1 − y

	1		1 + x
y =		ln		ten wzór przedstawia funkcję odwrotną do funkcji tgh(x),
	2		1 − x

oznacza się ją artgh(x)

	1		1 + x
artgh(x) =		ln
	2		1 − x

AS: Bogdanie − trochę konkuruję,nie miej mi za złe To jest to samo ale moim zdaniem bardziej przejrzyste.

	ex − e−x
tgh(x) =
	ex+e−x

	1
Przyjmuję podstawienie ex = t , e−x =		, tgh(x) = y
	t

	1   t−   t		t2 − 1
y =		=
	1   t+   t		t2 + 1

y*(t² + 1) = t² − 1 y*t² + y = t² − 1 t² − y*t² = 1 + y t²(1 − y) = 1 + y

	1 + y		1 + y
t2 =		t = √
	1 − y		1 − y

	1 + y
ex = √		logarytmując stronami
	1 − y

	1		1 + y
x =		*ln{		)
	2		1 − y

Przestawiając zmienne otrzymamy

	1		1 + x
y =		*ln(		)
	2		1 − x

Monika: Dziękuje Wam ślicznie, chociaz mi samej nie chce wyjść arcoshx nie wiem co robię źle..

Monika: a i rzeczywiście, to nie jest z poziomy liceum

AS: Pokaż co zrobiłaś , zobaczymy,pomyslimy.

Monika: Tamto z podstawieniem rozumiem, teraz próbuję zrobić analogicznie to samo do arsinhx

Monika:

	1   t−   t
mam tak: y=
	2

	1
mnoże przez 2 i mam t−		=2y
	t

Monika: tylko jak mam mi z tego wyjść logarytm ?

Monika: aa juz chyba łapię

Monika: nie no nie wychodzi mi

AS: Pomnożyć przez t i doprowadzić do równania kwadratowego. t² − 2*y*t − 1 = 0 potem deltą,gdzie a = 1 , b = −2*y , c = −1

Monika: stanęłam na 2y=t²−1

Monika: chyba coś mi wychodzi, ale to innym sposobem, bo ze zmienną nie wiem czemu, ale mi nie idzie

AS: O rany. Nie pomnożyłam 2*y przez t a potem co się robi z równaniem kwadratowym? Przyrównuje do zera i po paradzie.

Monika: yhm