algebra student: Nie korzystając z dzielenia wielomianów, wyznacz reszte z dzielenia wielomianu W(x)=x⁵−2x²+4x+5 Q(x)=x²+x−2 wiem że P(x)=Q(x)*W(x)+R(x) P(1)=8 P(−1)=−2 co dalej zrobić?

ICSP: ? Chyba oznaczenia wielomianów Ci się pomyliły.

Bizon: ... może zacznij od "dokładnego przerysowania zadania". Zgaduj−zgadula piętro niżej ...

student: przepraszam już poprawiłem to jest poprawne: W(x)=x⁵−2x²+4x+5 Q(x)=x²+x−2 co dalej robić?

student: W(x)=Q(x)*P(x)+R(x) Q(x) delta... x₁=−2, x₂=1 R(x)=ax²+bx+c podstawiamy x₁=−2 do tego równania W(x)=Q(x)*P(x)+R(x) wychodzi −43=4a−2b+c podstawiamy x₂=1 do tego równania W(x)=Q(x)*P(x)+R(x) wychodzi 8=a+b+c dobrze robię?

ICSP: Reszta jest maksymalnie o stopień niższa od wielomianu przez który dzielimy. Skoro dzielimy przez wielomian stopnia II to reszta będzie w postaci liniowej : ax + b

Aga1.: R(x)=ax+b.

student: aha to wszystko ułatwia, zaraz napisze rozwiązanie proszę jeszcze o sprawdzenie

student: reszta mi wyszła 17x−9 dobrze?

student: up

student: ?

student: chyba źle mi wyszło, bo podzieliłem sobie ten wielomian W(x):Q(x) i reszta wyszła mi 5x−3, może ktoś sprawdzić i powiedzieć gdzie robię błąd?

student: ...

student: up

Trivial: 17x − 9 jest OK

student: dzieki

Trivial: Dzielenie wielomianów: 1 −1 3 −7 1 0 0 −2 4 5 : 1 1 −2 − 1 1 −2 −1 2 −2 + 1 1 −2 3 −4 4 − 3 3 −6 −7 10 5 + 7 7 −14 17 −9 Zatem x⁵ − 2x² + 4x + 5 = (x³ − x² + 3x − 7)(x²+x−2) + 17x − 9.

Mila: W(x)=(x⁵−2x²+4x+5) Q(x)=(x²+x−2), x=−2 lub x=1 W(x)=Q(x)*P(x)+R(x) R(x)=ax+b W(1)=8 W(−2)=−43 R(−2)=−2a+b=−43 R(1)=a+b=8 /*2 −2a+b=−43 2a+2b=16 3b=−27⇔b=−9 , a=17 R(X)=17x−9

student: dziękuję bardzo, ja robiłem błąd przy dzieleniu ponieważ dzieliłem prze x³+x−2... później podzieliłem przez x²+x−2 i ładnie wyszło

student: a z tym przykładem jak sobie poradzić: W(x)=x⁹⁹−2x⁹⁸+4x⁹⁷ Q(x)=x⁴−16 x₁=2 x₂=−2 co dalej?

Trivial: Q(x) = (x−2)(x+2)(x−2i)(x+2i) W(2) = ... = a*2³ + b*2² + c*2 + d W(−2) = ... = a*(−2)³ + b*(−2)² + c*(−2) + d W(2i) = ... = a*(2i)³ + b*(2i)² + c*(2i) + d W(−2i) = ... = a*(−2i)³ + b*(−2i)² + c*(−2i) + d Reszta jest postaci ax³ + bx² + cx + d.

student: a jak to wyznaczyłeś? (x−2i)(x+2i)

Trivial: Pierwiastki zespolone. Po prostu a²+b² = (a−ib)(a+ib). Tutaj mamy (x²+4)

student: ok

student: i chyba już ostatni przykład z tego: w(x)=3x²⁰¹⁴−2x²+4x+5 q(x)=x²−1 pierwiastki x₁=1, x₂=−1 liczę ... reszta wychodzi mi 3x²⁰¹⁴+x+6 dobrze?

student: albo taka ma być reszta 4x+6

student: up

student: ...

student: .

student: moja ostateczna odp. to R(x)=4x+6

Mila: Zgadza się.

Trivial: W poprzednim zadaniu można rozwiązać na skróty. Znamy 4 punkty, przez które przechodzi wielomian reszty. Są to: (2, W(2)), (−2, W(−2)), (2i, W(2i)), (−2i, W(−2i)) (2, 4*2⁹⁷), (−2, −12*2⁹⁷), (2i, 4*2⁹⁷), (−2i, 4*2⁹⁷) Możemy zastosować np. interpolację Lagrange'a^[1]. Dopasujemy wielomian do punktów (2, 4), (−2, −12), (2i, 4), (−2i, 4) a następnie pomnożymy współczynniki przez 2⁹⁷. Stosujemy wzór interpolacyjny Lagrange'a: f(x) = y₀Φ₀(x) + y₁Φ₁(x) + y₂Φ₂(x) + y₃Φ₃(x)

	1		ω(x)
Φk(x) =		*		ω(x) = (x−x0)(x−x1)(x−x2)(x−x3)
	ω'(xk)		x−xk

Liczymy: ω(x) = (x−2)(x+2)(x−2i)(x+2i) = x⁴−16 ω'(x) = 4x³ x 2 −2 2i −2i y 4 −12 4 4 ω' 32 −32 −32i 32i y/ω' 1/8 3/8 i/8 −i/8

	1/8		3/8		i/8		−i/8
R(x) = 297(x4−16)*(		+		+		+		)
	x−2		x+2		x−2i		x+2i

	1		3		i
= 294(x4−16)*(		+		+ 2Re(		))
	x−2		x+2		x−2i

	4x−4		−4
= 294(x4−16)*(		+		)
	x2−4		x2+4

	x−1		1
= 296(x4−16)*(		−		)
	x2−4		x2+4

	x3−2x2+4x
= 296(x4−16)*
	x4−16

= 2⁹⁶(x³−2x²+4x) [1]: http://pl.wikipedia.org/wiki/Interpolacja_wielomianowa