prawdopodobieństwo w rzucaniu koścmi, większa ilość jednych kości od drugich Sev: Czy ktoś mógłby rozwiązać dane zadanie? Byłbym wdzięczny. We roll two different dice 10 times. What is the probability that the first die's number is 3 times greater than the second die’s number?

PW: Translate it into Polish, please.

Sev: Rzucamy dwoma różnymi kostkami 10 razy. Jakie jest prawdopodobnieństwo, że liczba pierwszych kości jest 3 razy większa niż liczba drugich kości.

PW: I w tym rzecz. Nie rozumiesz treści zadania. Co to znaczy u licha "liczba pierwszych kości"?

Sev: wydaje mi się, że chodzi o sumę

PW: Dla ustalenia uwagi powiedzmy, że mamy kostkę białą i kostkę czarną (two different). Po każdym rzucie notujemy osobno liczbę oczek na białej kostce i osobno liczbę oczek na czarnej. Po wykonaniu 10 rzutów obydwiema kostkami sumujemy wyniki i porównujemy uzyskane liczby − sumę wyników na białej kostce i sumę wyników na czarnej. Pytanie brzmi: Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyników na czarnej kostce jest 3 razy większa niż suma wyników na białej kostce. Tak rozumieć treść zadania?

Sev: Dokładnie tak

PW: Ustalmy w takim razie przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω.Na pewno są to pary liczb (s_b, s_c) (suma 10 rzutów na białej, suma 10 rzutów na czarnej). Niech dalej "biała" oznacza "pierwszą kostkę" z treści zadania. Spróbuj wypisać wszystkie możliwe liczby s_b. Tak zwyczajnie "na palcach" : s_b∊{10, ...., 60} Wypisałem najmniejszą możliwą sumę (10 razy wypadła jedynka) i największą możliwą (10 razy wypadła szóstka). Zastanów się, czy wszystkie liczby naturalne między 10 a 60 sa możliwymi wynikami.

KX: Wynikami moga być liczby od 30 i tak co 3 ale jak wpakować to do równania ?

PW: Co tak nerwowo? Jeszcze nie ustaliłeś jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych, a to jest niezbędne do zrozumienia tego co się dzieje, a więc do jakiegokolwiek liczenia. Przestrzeń Ω to zbiór par uporządkowanych (s_b,s_c). Każda z tych sum może przyjmować wartości od 10 do 60, jest ich zatem 51•51 = 2701. Teraz odpowiedz na pytanie: − Czy do rozwiązania (wpakowania do równania, jak mówisz) można zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa? (Twierdzenie to zakłada, że wszystkie zdarzenia elementarne sa jednakowo prawdopodobne).

PW: Chochlik: 51•51 = 2601 − sąsiednie klawisze. Może to zresztą nie mieć znaczenia dla rozwiązania − odpowiedz na postawione pytanie.

KX: Hmm... Skoro mamy zdarzenia losowe A i przestrzeń Ω możemy użyć klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Chyba, że się mylę

PW: No nie, właśnie dlatego tak powoli podchodzimy do sprawy. Gdybyśmy chcieli wypisać wszystkie możliwe wyniki 10−krotnych rzutów jedną kostką, to (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) wystąpi tylko raz (suma 10 pojawi się tylko raz), a np. suma 11 pojawi się już 10 razy: (2,1,1,1,1,1,1,1,1,1) (1,2,1,1,1,1,1,1,1,1) (1,1,2,1,1,1,1,1,1,1) (1,1,1,2,1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,2,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,2,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1,2,1,1,1) (1,1,1,1,1,1,1,2,1,1) (1,1,1,1,1,1,1,1,2,1) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,2) Suma 12 wystąpi znacznie więcej razy − umiesz policzyć ile razy? Budując model matematyczny musimy to uwzględnić, nie można twierdzić, że każda suma wystąpi tak samo często. Zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa odpada − już sumy obserwowane na jednej kostce mają różne prawdopodobieństwa, a my mamy dwa doświadczenia przebiegające niezależnie od siebie. To trudne zadanie.

KX: 9+8+7+6+5+4+3+2+1 i11 razy jak wypadną 3 zgadza się ?

PW: Myślę, że zadanie jest do rozwiązania dla studenta, który zgłębia matematykę dyskretną. Trzeba umieć odpowiedzieć na pytanie: − ile jest rozwiązań równania x₁+x₂+x₃+...+x₁₀ = n spełniających warunek (1) 1 ≤ x_j ≤ 6 , j=1, 2, ..., 10, dla n= 10, 11, 12, ..., 60. Wtedy odpowiemy na pytanie o prawdopodobieństwa zdarzeń "na białej kostce suma wyników 10 rzutów jest równa s_b". Policz dla przykładu ile jest możliwych rozwiązań równania x₁ + x₂ + ... + x₁₀ = 18 spełniających warunek (1).