olcia: zad 1. indukcja matematyczna... 2ⁿ >(lub równe) 2n.... pomóżcie! zad 2. mam zbadać monotoniczność ciągów an = 4ⁿ / n! n=4,5 (i tutaj nie wiem czy liczyć tylko an+1 i potem odjąć, czy podstawić te 4,5... po co one w ogóle są?)

olcia: proszę o pomoc

b.: 1. Tu masz schemat 682, sprawdzasz dla początkowej wartości np. n=1 i robisz krok indukcyjny. 2. a_n > 0, zbadajmy więc iloraz a_n/a_n+1: a_n 4ⁿ / n! -------- = ------------------------------------- = a_n+1 4ⁿ⁺¹ / (n!*(n+1)) = (n+1)/4 > 1 o ile n+1>4, czyli dla n=4,5,... mamy a_n<a_n+1. Zatem od miejsca 4 począwszy ciąg jest malejący. P.S. Pisać dwa posty jest nierozsądnie, bo można pomyśleć, że już ktoś odpowiedział

olcia: no dobra i do tego pierwszego sprawdzam i L=P i względem tego wzoru co mi podałeś piszę 2(k+1) = 2k + 2 ... i co dalej?

b.: 1. sprawdzasz dla n=1 - zgadza się 2. KROK INDUKCYJNY Zakładamy, że nierówność 2ⁿ≥2n jest prawdziwa dla pewnego n≥1. Liczymy: 2ⁿ⁺¹=2*2ⁿ ≥ (z zał. ind) ≥ 2*(2n) = 2n+2n ≥ (bo n≥1) ≥ 2n+2 = 2(n+1), czyli udowodniliśmy, że 2ⁿ⁺¹≥2(n+1). Koniec.