Granica ciagu Artur: Niech {a_n} bedzie arytmetyczny i taki, ze a₁=3, roznica = 2 {b_n} geometryczny, b₁=2, q=3

	a1+a2+...+an
Obliczyc limn→∞
	nlogbn

	a1+a2+...+an
limn→∞
	nlogbn

	n2+n   2
limn→∞
	nlog2*3n−1

	n2+2n
limn→∞
	2nlog2*3n−1

	n+2
limn→∞
	2log2*3n−1

Jak dalej? Kombinowalem na rozne sposoby z wlasnosci logarytmow, ale nic mi nie wychodzi...

Artur: I drugi przyklad, za ktory nie wiem, jak sie zabrac: lim_n→∞ sin(√n+1)−sin√n

wredulus_pospolitus:

	a−b		a+b		a2−b2
lim a−b = lim (		*		) = lim
	1		a+b		a+b

lub skorzystaj ze wzorów trygonometrycznych: sinx − siny = 2*.....*......

Bizon: ... zacznij od ponownego przeliczenia sumy ciągu arytmetycznego

Artur:

	√n+1−√n		√n+1+√n
sin√n+1−sin√n = 2sin		cos
	2		2

	√n+1+√n
|cos		|≤1
	2

	√n+1−√n		√n+1−√n		√n+1+√n		1
2sin		=2sin		*		=2sin
	2		2		√n+1+√n		2√n+1+2√n

→ 2sin0=0, zatem na mocy odpowiedniego tw. lim_n→∞ sin√n+1−sin√n=0, czy tak?

Artur:

	3+2n+1		2n+4
3+5+...+2n+1=		*n=		*n=(n+2)n=n2+2n, zatem powinno byc:
	2		2

	n2+2n		n+2
limn→∞		=limn→∞
	nlog2*3n−1		log2*3n−1

Bizon: a_n=3+2(n−1)=3+2n−2=2n+1

	3+2n+1
zatem: Sn=		n=(n+2)n
	2

Masz więc:

	n(n+2)		n+2
limn→∞		=limn→∞		= ...
	nlog2*3n−1		log2+(n−1)log3

dalej chyba poradzisz

Janek191: Ciąg arytmetyczny : a₁ = 3 , r = 2 więc a_n = a₁ + ( n −1)*r = 3 + ( n −1)*2 = 3 +2n − 2 = 2n + 1 S_n = 0,5*( a₁ + a_n)*n = 0,5*( 3 + 2n + 1)*n = ( 2 + n)*n = n² + 2n Ciąg geometryczny b₁ = 2 , q = 3

	1		2
więc b2 = b1 *qn −1 = 2 *3n −1 = 2*		*3n =		*3n
	3		3

zatem

	a1 + a2 + ... + an		n2 + 2n
cn =		=		=
	n log bn		2   n log *3n   3

	n + 2		n + 2
=		=		=
	2   log + log 3n   3		2   log + n log 3   3

	1 + 2n
=
	log 23   + log 3   n

zatem

	1
lim cn =
	log 3

n→ ∞ =====================

Artur: Dziekuje wszystkim. W odpowiedziach mam podane, ze granica ta jest rowna 2, co chyba powinienem uwazac za blad? Bo tutaj ta granica, jesli sie nie myle, jest rowna 2, ale w przyblizeniu... A jak z tym drugim zad.? Czy moja odpowiedz. z godz. 11:56 jest ok?

Artur: I tutaj jeszcze jeden przyklad, moja odpowiedz zupelnie rozni sie od tej z ksiazki (tam jest

	1
		−1...)
	√2−1

√1+2+...+n
	=
n

	n2+n   √   2
=		=
	n

	√n2+n
=		=
	n√2

	1   n√1+   n		1   √1+   n		1
=		=		→		, co tutaj robie nie tak?
	n√2		√2		√2

Janek191: Jest dobrze

Artur: To z 11:56, czy 12:37? Dzieki

Janek191: Oba