What the fuck? :D Maslanek: Fukcjonał liniowy Wskazać dobre odpowiedzi Niech φ będzie funkcjonałem liniowym przestrzeni (Z₂)²: (a) dim(kerφ)>0 (b) jeśli φ(e₂)≠0, to φ(x,y)=y dla dowolnych x,y (c) jesli φ(e₁)≠0 i φ(e₂)≠0, to φ(x,y)=x+y dla dowolnych x,y. Moje rozumowanie Jest to przekształcenie z Z₂ X Z₂ do ciała R Co w związku z tym? φ(x,y)=αx+βy Szukając jądra: αx+βy=0

	β
x=−		y
	α

	β
Ale x, y∊Z2. Więc		∊Z (całkowite)
	α

Jeśli (x,y)=(0, 0), to ax+by=0 − ok. Jeśli (x,y)=(1, 0), to a=0 Jeśli (x,y)=(0, 1), to b=0 Jesli (x,y)=(1,1), to a+b=0 Ogólnie a=b=0 zawsze, więc dim(kerφ)=0? Czym są e₁ i e₂? Wektory bazy? Czyli odpowiednio (1,0) i (0,1)?

Maslanek: Czyli prawdziwe byłoby wtedy tylko c?

Maslanek: Z tych rozważań moich by w ogóle wychodziło, że żadna odpowiedź nie jest poprawna :(

Maslanek: Hop do góry

bezendu: I hop na dół

MQ: A nie ma tu sprzeczności między b) i c)?

Maslanek: Prawdopodobne To pytanie wielokrotnego wyboru Tylko chciałbym to zrozumieć ^^. A po przeczytaniu literatury jestem tak samo goły jak zaczynałem ją czytać

M: Hop?

Trivial: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Przekształcenie φ: V → K nazywa się formą liniową albo funkcjonałem liniowym (bądź kowektorem), jeżeli jest ona liniowa, tj. spełnia ∀c,d∊K ∀x,y∊V φ(cx+dy) = c*φ(x) + d*φ(y) Jak powszechnie wiadomo, Z₂ jest ciałem, więc podejrzewam, że w tym zadaniu mamy φ: Z₂² → Z₂. a) Nieistotne! Weźmy dowolne φ : K² → K wtedy możemy zapisać φ(x) = a₁x₁ + a₂x₂ Szukając jądra rozwiązujemy równanie a₁x₁ + a₂x₂ = 0 Przypadek a_k = 0, k dowolne dim(kerφ) > 0, gdyż możemy wziąć x_k ≠ 0 oraz x_m = 0, m ≠ k i otrzymamy φ(x) = 0. Przypadek a_k ≠ 0, wszystkie k Z własności ciała, istnieje a₁⁻¹, takie że a₁a₁⁻¹ = 1, a więc szukając jądra mamy x₁ = −a₁⁻¹a₂x₂ Czyli znowu dim(kerφ) > 0. Zatem TAK.

	1 0		0 1
Przyjmuję, że e1 =		oraz e2 =		(wektory bazy).

b) NIE, gdyż dla φ([x y]^T) = x+y również mamy φ(e₂) = φ([0 1]^T) = 1 ≠ 0 c) TAK. W ciele Z₂ mamy φ(u) ≠ 0 ⇒ φ(u) = 1. Natomiast z własności liniowości φ(x) = φ([x y]^T) = φ(xe₁ + ye₂) = x*φ(e₁) + y*φ(e₂) = x + y Jeszcze jakby ktoś mógł na to zerknąć, gdyż nie czuję się zbyt pewnie jeśli chodzi o algebrę abstrakcyjną. [1]: http://pl.wikipedia.org/wiki/Forma_liniowa

Trivial: Maslanek, co z tym funkcjonałem?