Indukcja matematyczna - podzielność exevan: Udowodnij, że dla każdej liczby n∊N⁺ liczba 10ⁿ −1 jest podzielna przez 9, czyli że 10ⁿ − 1 = 9t. Pierwsze co przykuło moją uwagę to te 9t. Czemu do tego jest dodawana jakaś literka? A po drugie to to, że w książce mam rozwiązanie tego, którego nie rozumiem. A czemu? Ponieważ na początku w założeniu jest: Z: 10ⁿ −1=9t a zaraz po tym: T: 10ⁿ − 1 = 9k raz 9t raz 9k tego nie kumam

Saizou : a po co indukcja wystarczy wzorek aⁿ−1=(a−1)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²+...+a+1)

zawodus: Masz w karcie wzorów wzór aⁿ−1=... Przepisujesz i koniec zadania chodzi o to, że jeśli dana liczba jest podzielna przez 9, to można ją zapisać 9* coś, gdzie to coś jest liczbą całkowitą

Saizou :

exevan: chodzi o to, że jest to zadanie przykładowe z książki a tam takiego wzoru nie mam, więc nawet nie miałem o nim pojęcia.

exevan: Czyli z tego wzoru za 'a' mam podstawić 10?

Saizou : tak

zawodus: W książce nie dali wzoru i napisali *** gwiazdki przy zadaniu

Saizou : być może ale jak moja matematyczka powtarza, jak nasz już w głowie kompletną pustkę, przeglądaj tablice maturalne xd

Mila: Liczba naturalna jest podzielna przez 9, to możesz ją zapisać w postaci iloczynu 9*k, gdzie k∊N₊. liczby: 10ⁿ−1, gdzie n∊N₊ mają postać: 9....9, ( n dziewiątek) ⇔suma cyfr jest podzielna przez 9 ⇔ 10ⁿ−1 jest podzielna przez 9.

exevan: no nie wiem, a da się to zrobić za pomocą tej metody hmm klasycznej ? czyli bez podstawiania do wzoru?

zawodus: Dostałaś metodę klasyczną od Mili Zadanie na poziomie szkoły podstawowej

Saizou : ale jak by ktoś chciał zrobić indukcyjnie to proszę bardzo 1^o dla n=1 10−1=9 ok 2^o dla n=k 10^k−1=9t ,t∊C 3^o dla n=k+1 10^k+1−1=10*10^k−1=10*10^k−10+9=10(10^k−1)+9=9t*10+9=9(10t+1)=9m m∊C

zawodus: ja myślałem, że indukcja ma tylko dwa warunki

Mila: || sposób 10≡1(mod9) /ⁿ 10ⁿ≡1(mod9)) 10ⁿ−1≡0 (mod9)⇔reszta z dzielenia Liczby(10ⁿ−1) przez 9 jest równa 0⇔ Liczba 10ⁿ−1 jest podzielna przez 9.

ZKS: 10 ≡ 1 mod 9 10ⁿ ≡ 1 mod 9 10ⁿ − 1 ≡ 0 mod 9.

Saizou : a ja byłem uczony 3 kroków indukcyjnych

ZKS: Mila przepraszam nie odświeżyłem.

exevan: Saizou a wytłumacz =9(10t+1)=9m m∊C ten kawałek ostatni co się stało z tym 10t+1, czemu zamieniłeś to na m?

Domel: Indukcją też można: Korzystając z tezy: 10ⁿ−1=9k sprawdzam prawdziwość dla n+1 10ⁿ⁺¹−1 = 10ⁿ⁺¹−10+9 = 10*10ⁿ−10+9 = =10*(10ⁿ−1)+9 = Ponieważ 10ⁿ−1=9k to mamy równanie: =10*9k+9 Widać, że i pierwszy i drugi składnik równania jest podzielny przez 9 więc całość też jest podzielna przez 9

Mila: Witaj ZKS i tak nie zwracaja uwagi na nasz sposób.

bezendu: Tylko kto to zrozumie ? Bo ja wgl nie rozumiem MTF.

exevan: Jak dajecie sposoby ze studiów ^^ ja z tymi mod nie rozumiem w ogóle. albo jestem ciężki w rozumowaniu albo nie wiem co bo dalej tego nie kumam Może zaraz się bedziecie ze mnie śmiać, że to poziom 1LO.. tyle, że większość z was jest lub była z klas o profilu mat i takie rzeczy mieli właśnie w 1 klasie ^^ A ja się uczędo matury PR będąc w technikum inf. I takich pojęć nie mieliśmy na matematyce

Saizou : przystawanie modulo Mila i ZKS sposób fajny tylko że nie na miarę LO

Bogdan: Wzór skróconego mnożenia: aⁿ − 1 = (a − 1)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² + ... + 1) 10ⁿ − 1 = (10 − 1)(10⁹ + 10⁸ + 10⁷ + ... + 1) = 9(10⁹ + 10⁸ + 10⁷ + ... + 1)

Eta: A już miałam pisać

Saizou : ale wracając do pytania z 21:13 9(10t+1)=9m m∊C , bo 10t+1 jest całkowite, bo t∊C, zatem żeby mieć skrócony zapis, napisałem 9m, gdzie m∊C i m=10t+1

Saizou : a ja to napisałem na samym początku

Mila: 21:09 podałam sposób bardzo prosty. 10¹−1=9 10²−1=99 10³−1=999 itd, każda liczba 10ⁿ−1 dla n∊N₊ jest postaci: 99...9 − n dziewiatek, zatem widzisz, że dzieli się przez 9? II sposób podałam jako ciekawostkę, wielu maturzystów doskonale zna tę metodę.

Saizou : przyznam się że ja nie znałem, ale z tego co widzę to opiera się to na resztach z dzielenia przez 9

zombi: przystawanie modulo jest super, przydaje się strasznie!

Saizou : to może lepiej go nie używać jak "przydaje się strasznie"

ZKS: Witaj Mila.

exevan: dobra powiedzcie mi czego jeszce się uczyć do rozszerzenia

Saizou : liczyć jak najwięcej zadań

Mila: Rozwiązuj zadania z arkuszy.

exevan: wazne jest to żeby robić zadania tylko z arkuszy niż skąd indziej? np repetytoria?

zawodus: To zależy od konkretnej książki. Należy szukać zadań najbardziej odpowiadających tym maturalnym.

Mila: Repetytoria też. Najlepiej zasięgnij opinii u swojego nauczyciela matematyki, który wie, co słabo zostało przerobione w szkole z powodu małej liczby godzin matematyki. Aksjomat, Kiełbasa,

exevan: trochę z tym może być ciężko bo mam na pieńku z panią od matematyki przez jedną sytuację dawno temu. no ale raz się żyje

bezendu: Mila ja przerabiam zadani.info to lepsze od kiełbasy ?

Saizou : a ja przerabiałem www.matematyka.pisz , bardzo polecam