indukcja mat Zosia: Zadanie 16. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 2⁴ⁿ+5 jest podzielna przez 21. Rozwiązanie: 1) Dla n = 1: 24 + 5 = 21 − teza jest spełniona. 2) Załóżmy, że udowodniliśmy tezę dla liczb naturalnych od 1 do n, dowodzimy dla n + 1. Z założenia indukcyjnego liczba 2⁴ⁿ+5 jest podzielna przez 21, czyli istnieje liczba całkowita k taka, że 2⁴ⁿ+5=21k. Stąd 2⁴ⁿ=21k−5. Wobec tego 2⁴ⁿ+1+5=2⁴ⁿ⋅4+5=(2⁴ⁿ)4+5=(21k−5)⁴+5.Ze wzoru dwumianowego Newtona wynika, że liczbę (21k − 5)⁴ możemy zapisać jako 21m + 5⁴ dla pewnej liczby całkowitej m(można też przekonać się o tym, wykonując odpowiednie mnożenia). Z tego wynika, że 2⁴ⁿ+1+5=21m+5⁴+5=21m+630=21m+21⋅30, czyli 24n+5jest liczbą podzielną przez 21. Nie rozumiem zdania między wykrzyknikami ze dwumianowego Newtona otrzymujemy postać: (21k − 5)⁴ = 21k⁴ − 4*21k³*5 + 6*21k²*5² − 4*21k*5³ + 5⁴ mogę prosić o wyjaśnienie jak skraca się wyrażenie środkowe do postaci 21m + 5⁴ ?

Zosia: Zadanie 16. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba 2⁴ⁿ+5 jest podzielna przez 21. Rozwiązanie: 1) Dla n = 1: 2⁴ + 5 = 21 − teza jest spełniona. 2) Załóżmy, że udowodniliśmy tezę dla liczb naturalnych od 1 do n, dowodzimy dla n + 1. Z założenia indukcyjnego liczba 2⁴ⁿ+5 jest podzielna przez 21, czyli istnieje liczba całkowita k taka, że 2⁴ⁿ+5=21k. Stąd 2⁴ⁿ=21k−5. Wobec tego 2⁴ⁿ⁺¹+5=2{4ⁿ⁴+5=(2⁴ⁿ)4+5=(21k−5)⁴+5. Ze wzoru dwumianowego Newtona wynika, że liczbę (21k − 5)4 możemy zapisać jako 21m + 54 dla pewnej liczby całkowitej m (można też przekonać się o tym, wykonując odpowiednie mnożenia). Z tego wynika, że 2⁴ⁿ⁺¹+5=21m+5⁴+5=21m+630=21m+21⋅30, czyli 24n+5jest liczbą podzielną przez 21.

Zosia: 2⁴ⁿ⁺¹+5=2^4n*4+5=(2⁴ⁿ)⁴+5=(21k−5)⁴+5

Zosia: ponawiam

Zosia: ponawiam, proszę wskazówki

PW: Teza brzmi: Liczba 2^4•(n+1) + 5 = 2⁴ⁿ•2⁴ +5 jest podzielna przez 21.

Zosia: PW: to pytanie, czy stwierdzenie? dla jasności odsyłam do z.16 http://ucze-sie.pl/?q=indukcja_3

PW: Aha, zmieniłaś treść (spojrzałem na pierwszą wersję i dziwie się, bo twierdzenie jest fałszywe). Do wzoru z 20:15 − jest dobrze, wszystkie wyrazy rozwinięcia (21k−5)⁴ dzielą się przez 21 z wyjątkiem ostatniego równego 5⁴ = 625. Tak więc badana suma jest sumą liczby podzielnej przez 21 i liczby 625+5 = 630 = 21•30, co kończy dowód jej podzielności przez 21.

PW: A, to już więcej nie będę Ci pomagał. "ucze−sie" mam już dawno za sobą.

Zosia: tak, rozumiem, że otrzymaliśmy dowód jednak dlaczego: Ze wzoru dwumianowego Newtona wynika, że liczbę (21k − 5)⁴ możemy zapisać jako 21m + 5⁴ dla pewnej liczby całkowitej m

PW:

	4 p
Każdy składnik oprócz ostatniego ma postać		(21k)4−p(−5)p, p=0,1,2,3, można więc

wyłączyć 21 przed nawias. W nawiasie zostaje pewna suma liczb całkowitych. Wiemy to, gdyż

	4 p
wszystkie czynniki tam występujące (m.in.		) są całkowite. Sumę w nawiasie oznaczamy dla

wygody symbolem m − mając świadomość że jest to liczba całkowita. Nie musimy jej liczyć, gdyż do rozwiązania problemu potrzebne nam było tylko to, że przed nawiasem stoi 21, a w nawiasie liczba całkowita.

Zosia: Dziękuje rozumiem