ciagi nieskonczone studia Alois~: Witam mam taki przykład z ciagow i granic : √n+√n − √n−√n

	2√n
doszłam do takiej postaci lim n→∞		tylko jak dalej
	√n+√n + √n−√n

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/312.html

Alois~: zrobiłam wyciagajac √n dzięki

Alois~: a taki przykład jak zrobić? √n(n− √n² −1) tam jest √n² −1 pod jeszcze nie widac troche

ICSP: Przemnóż przez √n + √n²−1

Alois~: ok dziękuje wyszło

Alois~: 1. ⁿ√2n³ − 3n² +15 wyłączyłam n³ ale to chyba bez sensu było 2. √n¹0 − 2n² +2

ICSP: 1. Twierdzenie o trzech ciągach 2. Wyłącz n¹⁰ przed pierwiastek.

Alois~: to z ciągami nie umiem ale jesz popróbuje a takie: 1. 2⁻ⁿ a cosnπ

	3   ln ( 1+ )   n
2.
	1   n

i 3 . czy to można tak :

	n!		n!   nn
lim n→∞		= lim n →∞		= 0
	nn		1

ICSP: 1. a ?

	3   ln(1 +   n		3
2.		= ln(1 +		)n granica Eulera. Poszukaj w podręczniku albo w
	1/n		n

internecie.

	n!
3. Jak mi wytłumaczysz dlaczego		→ 0 to będzie ok
	nn

Alois~: w 1 dokładnie tak jak przepisałam może to jakiś błąd w książce a odpowiedz jest 0 do tego. 3 w odpowiedzi jest wytłumaczone ale chyba z tego twierdzenia o ciągach, którego coś opanować nie mogę , czyli że

	n!		1
0<		≤
	nn		n

mam pytanko czy tutaj mogę to tak zapisać:

	8log2 n		n3		n3/ 2n
lim n→∞		= lim n →∞		= lim n →∞		= 0
	2n		2n		1

bardzo dziękuje Ci za wskazówki

ICSP: 1. Czym jest "a" między 2⁻ⁿ oraz cos(nπ) ? 3. Oszacowanie dobre. Z trzech ciągów granica to 0.

	n3
4. Tak samo. Skąd nagle wyciągasz wniosek :		→ 0 ?
	2n

Alois~: 1 nie mam pojęcia 4 z mojego błędnego liczenia, że licznik dąży do zera przy mianowniku 1, 0/1 = 0 wiem źle

ICSP: 4. jest dobrze. Licznik rzeczywiście dąży do 0. Tylko musisz uzasadnić dlaczego tak jest.

ICSP: −1 ≤ cos(nπ) ≤ 1 // * a

	1
−a ≤ a * cos(nπ) ≤ a // *
	2n

−a		a * cos(nπ)		a
	≤		≤
2n		2n		2n

Wyciągnij odpowiednie wnioski.

Alois~: czyli granica ciagu srodkowego też 0 tylko nie wiem czemu tych przykladów z uzyciem tw o 3 ciagach nie moge załapać. 4 nie potrafie uzasadnić

ICSP: masz książkę Pana Krysickiego. Jest tam przykład 2.12 który mówi :

	an+1
Jeżeli lim |		| < 1 to lim an = 0
	an

	n3
W ten sposób uzasadnisz, że lim		→ 0
	2n

Godzio: Można też tak: Dla pewnego n₀ (n₀ = 17) mamy, że 2ⁿ > n⁴ (bo funkcja wykładnicza rośnie szybciej niż dowolny wielomian). Stąd mamy:

	n3		n3
0 < limn→∞		< limn→∞		= 0
	2n		n4

Alois~: dziękuje za pomoc .. dziś już się poddaje