Funkcja gęstości ARTEKM: Dana jest następująca funkcja: 0 dla x≤0 f(x) = cx dla 0<x≤1 0 dla x>1 a) wyznacz c, dla którego jest to funkcja gęstości pewnej zmiennej losowej b) naszkicuj wykres f(x) c) wyznacz i naszkicuj dystrybuantę tej zmiennej losowej d) oblicz prawdopodobieństwo: P(0<x<0,1); P(x>0,6) e) oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe

Aga1.: a) wykorzystaj fakt,że funkcja gęstości spełnia 2 warunki 1)∫_−∞^∞f(x)dx=1 i 2) f(x)≥0 Korzystaj z 1 warunku ∫_−∞^∞f(x)dx=∫_−∞⁰0dx+c∫₀¹xdx+∫₁^∞0dx=c∫₀¹xdx=

Godzio: A jak już wyznaczysz c to:

	t2		x2
c) F(x) = ∫−∞xf(t) = ∫0xctdt = c		|0x = c *
	2		2

	x2
F(x) = c *		1(0,1](x)
	2

d) P(0 < x < 0.1) = P(x < 0.1) − P(x ≤ 0) = F(0.1) − F(0) = ... P(x > 0.6) = 1 − P(x ≤ 0.6) = 1 − F(0.6)

	c
e) EX = ∫−∞∞xf(x) = ∫01cx2dx =
	3

	c
EX2 = ∫01cx3dx =
	4

	c		c2
VarX = EX2 − (EX)2 =		−		= ...
	4		9

σ = √VarX = ...