Analiza, studia. Beta: Ile pierwiastków ma równanie x+x²+x³+x⁴=5 na przedziale [0,2]?

Beta: Jakieś podpowiedzi?

zawodus: Ja znam twierdzenie Sturma Polecam lekturę Pewnie są inne metody też

Beta: Ooo, przydatna rzecz. Spróbuję je przyswoić .

PW: Ja znałem twierdzenie Sturma, ale już nie pamiętam. x₁ = 1 nie jest rozwiązaniem. Dla pozostałych x 1+x+x²+x³+x⁴ = 6

	x5−1
		= 6
	x−1

x⁵ = 6x − 5, x∊R\{1} jest równaniem równoważnym. Nie bardzo wiadomo co z tym zrobić, ale funkcja f(x) = x⁵ jest rosnąca i pewnie wypukła na przedziale [0,2]. Narysować? Wykresy przecinają się w (1,1), ale prosta y=6x−5 nie jest styczną w tym punkcie. Tak "po inżyniersku" może by wystarczyło, ale matematycy bywają męczący. A może dla pewności zbadać funkcję g(x) = x⁵−6x+5, x∊(0, 2) (na krańcach rozwiązania nie ma).

	6
g ' (x) = 5x4 − 6 = 5(x2+√		)(x−4√65)(x+4√65) <0
	5

− o, teraz widać: na badanym przedziale g ' (x) > 0 ⇔ x∊(⁴√⁶₅),2), g ' (x) < 0 ⇔ x∊(0, ⁴√⁶₅). W punkcie ⁴√⁶₅) jest osiągane minimum równe

	6		24
g(4√65)) =		4√65) − 64√65) + 5 = −		4√65) + 5
	5		5

(tu bardzo cienko, kalkulator albo długie rachunki na papierze, bo różnica ok. −0,024). Wniosek: funkcja g osiąga wartość zero w dwóch punktach na przedziale (0,2). Jednym z nich jest x₁ = 1, który nas nie interesuje (nie jest pierwiastkiem zadanego równania). Odpowiedź: Równanie ma jeden pierwiastek na przedziale [0, 2], jest on większy od ⁴√⁶₅). Pozwoliłem sobie na takie wygibasy z uwagi na hasło "analiza", tw. Sturma pewnie "nie przerabiali" sądząc po odpowiedzi z 16:27.

zawodus: masz cierpliwość

PW: Mam to hobby, że najpierw zawsze kombinuję − jak zrobić, żeby się nie narobić (w tym wypadku nie przyswajać zapomnianego twierdzenia). Skutki bywają trudne do przewidzenia. Swoją drogą zadanie piękne − minimum około −0,024.

Beta: Nie miałam pojęcia, że ktoś ciągnął dalej ten wątek! Dziękuję bardzo za pomoc . Ja jednak rozwiązałam to zadanko wykorzystując proste twierdzenie Darboux, odpowiedź wyszła taka sama .

PW: Ba, gdyby to było takie proste, to bym się nie gimnastykował. Twierdzenie Darboux mówi tylko tyle, że miejsce zerowe istnieje, ale nie informuje o liczbie tych miejsc zerowych. Przeczytaj je jeszcze raz. Łopatologicznie: z fakt,u że W(0) < 0 i W(2) > 0 wynika istnienie miejsca zerowego na (0,2). Wcale nie znaczy, że nie ma w tym przedziale jeszcze jednego. A pytanie było: ile?

Beta: Dostałam 5/5 za to zadanie na egzaminie końcowym z analizy, więc raczej jest dobrze. Profesor wrzucił również swoje rozwiązania wszystkich grup i miał identyczne jak moje, więc...

PW: Więc profesor się myli. Nie co do wyniku, bo rzeczywiście funkcja ma jedno miejsce zerowe na zadanym przedziale. Myli się co do metody − twierdzenie Darboux nie daje odpowiedzi na pytanie "ile". Łopatologiczny przykład: f(x) = (x+1)(x−1)(x−2) Sprawdzamy: f(−2) = −12, f(3) = 8. Założenia twierdzenia Darboux są spełnione. Wniosek: na przedziale (−2, 3) funkcja f ma miejsce zerowe. Ale, niestety, nie jedno, lecz aż trzy. Pewność, że miejsce zerowe na ustalonym przedziale jest tylko jedno, może dać twierdzenie Darboux plus stwierdzenie monotoniczności funkcji na tym przedziale. To właśnie robiłem (5 lutego, 22:10).