Dowód indukcyjny Kac: Stosując zasadę indukcji udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n liczba postaci 4ⁿ+6n−1 dzieli się przez 9. Oznaczam T(n)=4ⁿ+6n−1 1° T(1)=4¹+6*1−1=9 T(1) dzieli się przez 9. 2° Weźmy dowolne k∊N i załóżmy, że 9 jest dzielnikiem T(k). Pokażemy, że 9 jest dzielnikiem T(k+1). T(k+1)=4^k+1+6(k+1)−1 = 4*4^k+6k+6−1 = 4*4^k+6k+5 = ... I co dalej?

wredulus_pospolitus: 4^k+1 + 6*(k+1) − 1 = 4*4^k + 6k − 1 + 6 = (3+1)*4^k+ 6k − 1 + 6 = 4^k+6k − 1 +(3*4^k + 6) po zastosowaniu 2^o ... zostaje do wykazania, że 3*(4^k+2) podzielne przez '9' ... czyli, że 4^k+2 podzielne przez 3 i jak to zrobić (wskazówka ... miałeś zagadnienie (mod m) )

wredulus_pospolitus: no i jak ... poradził sobie obywatel

Kac: czyli zostaje T(k) + (3*4^k + 6), rozumiem rozumiem. bardzo fajne te sztuczki, heh. mod m miałem, znam. powyższe będę poprawiał, a było to przed modulo i rozwiązywaliśmy takie rzeczy bez użycia tego zagadnienia i tak może być też wymagane.

Kac: ale to będzie tak: 4^k +2 ≡ 0 (mod 3) ?

wredulus_pospolitus: oczywiście ... a wynika to z: 4^k + 2 (mod 3) ≡ 4^k(mod3) + 2(mod3) ≡ 1^k(mod3) + (−1) (mod 3) ≡ 1 −1 = 0

Kac: a czemu 2(mod3) staje się (−1) (mod 3)? można też chyba zostawić 2(mod3) i wtedy 1(mod3) +2(mod3) ≡ 3(mod3) ≡ 0