Ciag Andrzej K.: Zbadac monotonicznosc, ograniczonosc ciagu:

	n2+2n+1
an=
	n2−3

Tak wiec wydaje sie, ze mamy: ∀n∊N: −2≤a_n≤9

n2+2n+1		2n+4
	≥−2⇔		≥−3, wtedy oczywistym jest, ze: ∀n∊N,n≥2: 2n+4>0 ∧ n3−3>0,
n2−3		n2−3

	2n+4		6
zatem dla n≥2		>0, czyli w szczegolnosci ≥−3, a dla n=1 mamy:		=−3≥−3
	n2−3		−2

n2+2n+1		n2+2n+1−9n2+27		4n2−n−14		−n−2
	≤9⇔		≤0⇔−2*		≤0⇔		≥−4
n2−3		n2−3		n2−3		n3−3

	3
dla n=1:		≥−4
	2

	−7
dla n≥2: −n−2≥−4n2+12⇔ 4n2−n−14≥0⇔n∊(−∞,		]∪[2,∞), czyli w szczegolnosci dla n≥2, zatem
	4

nierownosc jest takze prawdziwa. Monotonicznosc: ∀n∊N, n≥2: a_n≥a_n+1

(n+1)2		(n+2)2
	≥
n2−3		n2+2n−1

Wtedy oczywiscie n²−3>0, n²+2n−1>0, zatem mnozac przez mianowniki i przeksztalcajac dostaje: n²+5n+5≥0, co jest dosc oczywista prawda dla n≥2 Czy te dowody sa w porzadku?

Andrzej K.: Czy bylby ktos w stanie sprawdzic? :s

wredulus_pospolitus: I jaką odpowiedź piszesz w odniesieniu do monotoniczności

Andrzej K.: Ciag jest malejacy poczawszy od wyrazu drugiego.

Andrzej K.: (ogolnie nie jest monotoniczny )

wredulus_pospolitus: oooo ... to tak ... dobrze masz tylko taka rada ... jak dodajesz/odejmujesz obustronnie to lepiej napisz to po −4 po obu stronach i dopiero później przekształcaj ułamek ... wykładowca może przez omyłkę nie zwrócić na to uwagę

Andrzej K.: W zasadzie to tutaj tylko tak skrotowo pisalem, bo inaczej wyszla by jeszcze wieksza sciana tekstu. Dziekuje za sprawdzenie i jeszcze wlasciwie mam takie pytanie...czy dalo by sie to moze jakos krocej udowodnic? Bo mam wrazenie, ze strasznie sie w tym motam (mimo poprawnosci) i pewnie mozna o wiele szybciej to zrobic...

wredulus_pospolitus: zacząłbym od określania monotoniczności, z niej wychodzi, że od n>2 masz ciąg malejący ... lim a_n = 1 => a₂ ≥ a_n ≥ 1 dla n≥2 , zostaje dołożenie a₁ ... i już masz: ∀_n a₂ ≥ a_n ≥ a₁

wredulus_pospolitus: korzystasz tutaj z twierdzenie: Ciąg monotoniczny i zbieżny jest ograniczony

Andrzej K.: A rzeczywiscie, trafna uwaga − dzieki.

wredulus_pospolitus: i w tym momencie cała ta 'ściana' zostaje skrócona do określenia monotoniczności + dwóch linijek