pochodne onix: jak zbadac rozniczkowalnosc funkcji x|x| ?

Mila: Z definicji w zerze.

onix: mozna by prosic o cos wiecej bo nadal nie wiem jak to zrobic...

onix: ^{f(x) − f(x₀)}_x−x0 = ^{x|x| − 0*0}_x|x|−0 = 1 to wystarczy?

PW: Oczywiście że nie wystarczy, tylko zaciemniło obraz prostego pytania. Funkcja

	⎧	−x2 dla x∊(−∞,0)
f(x) = x|x| =	⎩	x2 dla x∊[0,∞)

jest różniczkowalna na przedziałach otwartych (−∞,0) i (0,∞) − wiemy to, nie będziemy w kółko dowodzić. Wątpliwość powstaje czy jest różniczkowalna w zerze − tak jak napisała Mila. Badamy więc granice ilorazu różnicowego w zerze:

	f(x)−0		f(x)
		=		=
	x−0		x

	⎧	−x dla x∊(−∞,0)
=	⎩	x dla x∊[0,∞)

− oczywiście granice lewo− i prawostronną. Jeżeli okażą się równe, to pochodna w zerze istnieje.

PW: Za wcześnie skończyłem − zapomniałem o bardzo dziwnej rzeczy. Popatrz − Ty wyliczyłeś, że pochodna w zerze jest równa 1, a ja − że równa 0 (granice ilorazu różnicowego są zerami) . Kto popełnił bład?