Teoria miary i całki pomocy <pomocy> Jutro egzamin ;(
MateuszZet: 1) Czy zbiór {A ⊂ ℛ:A lub ℛ\A jest co najwyżej przeliczalny} jest σ− algebrą na ℛ?
2) a) Niech μ będzie miarą na P(ℕ) taką że dla dowolnego zbioru o parzystej liczbie elementów A
zachodzi równość μ(A) = #A. Wykazać że μ jest miarą liczącą
b) Czy istnieje miara na P(ℛ
2) taka, że μ([a,b] x [c,d]) = (b−a)
2 + (d−c)
2 dla dowolnych
a≤b, c≤d?
c) Załóżmy, że μ jest miarą na P(ℚ) taką, że μ(A)≥1 dla dowolnego zbioru nieskończonego A⊂ℚ.
Wykazać, że μ(ℚ)=
∞
d) Niech μ będzie miarą na σ− algebrze m, a A
n∊m, n=1,2,... spełniają nierówności μ(A
n)
≤1/2
n, n=1,2,... Wykazać, że μ(∩(od n=1 do
∞) An)=0 oraz μ(∪(od n=1 do
∞) An)≤1
3) Niech μ będzie probabilistyczną miarą borelowską na [0,1] taką, że ∫
[0,1] x
ndμ=1 dla
dowolnego n=1,2,.... Wykazać,że μ=δ
1.
| | dL1(x) | |
4) a) Wykazać,że ∫[1,∞) |
| <∞ |
| | 2[x2] | |
b) Znależć ∫[0,π] cos({π}{2[x]})dμ(x), gdzie μ=δ0,δπ,δ,L
1.
Uwagi: L to jest jakas miara liczaca tylko nie znalazlem symbolu ale to jest cos takiego jak L
pisane, i mie zrobilem indeksow bo za bardzo nie wychodzily mi szczególnie przy całkach,
jeszcze P to jest zbiór potęgowy.
