m Radek: W(x)=x³+3x+1 względem symetrii x=2 czyli mam brać jakieś punkty W(x) i odbić względem x=2

Mila: Co to znaczy względem symetrii, podaj dokładnie polecenie.

Radek: Wykres W(x) przekształcono w symetrii względem prostej x=2 Pani wczoraj pokazywała mi przykłada ale tam było miejsce zerowe. A tutaj muszę szukać punktów ?

zawodus: Robisz tak jak z punktem... tylko tutaj masz ich nieskończenie wiele...

Radek: Czy to jest ok ? Wiem, że muszę stworzyć układ z 3 nie wiadomymi więc wystarczą 3 punkty ?

Mila: Radek, masz podać wzór funkcji po tym przekształceniu?

Radek: Tak.

Eta:

x+x'
	=2 ⇒ x= 4−x'
2

wstaw za x do wielomianu i ..... na końcu opuść primy

Radek: A moje częściowe rozwiązanie nie jest poprawne ?

Mila: P(x,y) dany (dowolny) punkt P'(x',y') punkt, który otrzymasz po przekształceniu puntu P przez symetrię względem prostej x=2 Zauważ, że S jest środkiem odcinka PP' y'=y S=(2,y)

	x+x'
2=
	2

x+x'=4 x'=x−4 x=4−x' P'(x',y)=(4−x,y) druga współrzędna nie zmienia się. podstawiamy do wzoru za x wyrażenie:(4−x') w(x')=(4−x')³+3(4−x')+1 w(x')=64−3*16x'+3*4x'²−x'³+12−3x'+1 mozemy opuścic znaczkl ' w(x)=−x³+12x²−51x+77 wzór po przekształceniu wykresu danego wielomianu

Eta:

Radek: A czy moim sposobem też można by było zrobić to zadanie ? post 22:00 To teraz proszę o jakiś przykład do samodzielnego zrobienia ?

Mila: dla 4 punktów i układ 4 równan z 4 niewiadomymi w'(x)=ax³+bx²+cx+d

Radek: Dziękuję, a mogę prosić o przykład do rozwiązania ?

Mila: Radek podałyśmy Ci sposób zgodny ze sztuką. Nie jest to trudne, a przyda Ci się w przyszłości, postaraj sie zrozumieć.

Radek: Ja rozumiem to przekształcenie

Mila: Wykres funkcji f(x)=x²+2x−1przekształcono przez symetrię względem względem prostej x=3. Napisz równanie opisujące otrzymany wykres.

Radek: Ale jeszcze mam pytanie. Ma Pani ten punkt P'(x',y') i wyznaczyła Pani x' a podstawia Pani x ?

Mila: Zgadza się. We wzorze funkcji masz punkt x i za niego podstawiasz.

Radek: y=y' S=(3,y) x+x'=6 x=6−x' y=(6−x')²+2(6−x')−1 y=x²'−12x'+36'+12−2x'−1 y=x²−14x+47

Eta:

Radek: Dziękuję Jeszcze wstawię trochę zadań.

Mila: No, ładnie.

Radek: W wyniku jakiego przekształcenia (lub przekształceń) wykresu funkcji f (x) = x⁴+3x można otrzymać wykres funkcji g , jeżeli a) g(x) = (x − 5)⁴+3 (x−5)−5 ; przesunięcie o wektor v[5,−5] b) g(x) = |x⁴+3x +1| ; przesunięcie o wektor [0,1] i −f(x) ?

Radek: ?

Mila: b)f(x)→ T_[0,1]→S_OX dla y<0

Radek: S_ox dla y<0 skąd Pani ma taki zapis ?

Mila: Taki zapis oznacza, że odbijasz tylko tę część wykresu, która znajduje się pod osią OX. Nie wiem skąd mam. Jak znajdę, to napiszę.

Radek: i zawsze jest y>0 w takim zapisie ? c) g(x) = x⁴+3|x|

Aga1.: y≥0 c) g(x)=f(IxI) 1)g(x)=f(x) dla x≥0 2)g(x)=f(−x) dla x<0

Radek: A można prosić o wytłumaczenie tego ostatniego przekształcenia ?

zawodus: tzn?

Mila: Zostało odbite to co pod osią, czyli wszystkie punkty wykresu (x,y) gdzie y<0

Radek: Chodzi o zapis tego ostatniego przekształcenia.

Mila: Czytaj 23:56.

Radek: A post Pani Agnieszki ?

Mila: Przykład. f(x)=x²−2x "Odbijasz" względem osi OY tę część wykresu z prawej strony, część z lewej pomijasz , otrzymujesz wykres funkcji: g(x)=x²−2|x|

Radek: Czyli takie odbicie to f(|x|) tak ?

Mila: Tak. f(x)=x⁴+3x g(x) = x⁴+3|x|

Radek: Dziękuję.

Radek: A wytłumaczy mi Pani jeszcze kilka równań z wartością bez ?

Mila: Oczywiście.

Radek: Chodzi o takie równania jak mam np: |x²−4|+|x+3|=3 ?

Mila: Najpierw przedziały: |x²−4|=x²−4 dla x≤−2 lub x≥2 |x+3|=x+3 dla x≥−3 zaznaczam na osi, gdzie (x²−4) i (x+3 ) są dodatnie Teraz widzisz że możesz rozważyć w przedziałach: (−∞,−3) <−3,−2> (−2,2) <2,∞) Ustalaj wzory i rozwiązuj.

Radek: 1⁰ x²−4+(−x−3)=3 x²−4−x−3−3=0 x²−x−10=0 Δ=41 √Δ=√41

	1−√41
x1=		∉(−∞,−3)
	2

	1+√41
x2=		∉(−∞,−3)
	2

2⁰ x²−4+x+3=3 x²+x−4=0 Δ=17 √Δ=√17

	−1−√17
x1=		∊<−3,−2>
	2

	−1+√17
x2=		∉<−3,−2.
	2

3⁰ x²−4+x+3=3 x²+x−4=0 √Δ=17

	−1−√17
x1=		∉(−2,2)
	2

	−1+√17
x2=		∊(−2,2)
	2

4⁰ x²−4+x=3=3 x²+x−4=0

	−1−√17
x1=		∉<2,∞)
	2

	−1+√17
x2=		∉<2,∞)
	2

Mila: Punkt 3^o popraw .

Radek: 3⁰ (−2,2) x²−4+x+3=3 x²+x−4=0 Δ=17 √Δ=√17

	−1−√17
x1=		∉(−2,2)
	2

	−1+√17
x2=		∊(−2,2)
	2

Radek: teraz ok ?

zawodus: Wyrażenie x²−4 w przedziale (−2,2) jest ujemne, źle...

Mila: Poprawiaj.

zawodus: Chyba uciekł

Radek: −x²+4+x+3=3 −x²+x+4=0 x²−x−4=0 Δ=17 wychodzi to samo.

Radek: Nigdzie nie uciekłem..

zawodus: Nie wychodzi to samo

Mila: teraz dobrze.

Radek: A w tym wypadku |x²−4|+|x−2|=3 chodzi tylko jak zapisywać przedziały

Radek: ?

Mila: Radek , podobnie, a nawet łatwiej , weź wzór z tamtego i napisz , na pewno potrafisz. Ja sprawdzę.

Radek: Ale chodzi, że tutaj się będą pokrywać ? Ten jeden się pokrywa ?

Mila: To dobrze, masz tylko 3 przedziały, żebys wiedział jak zmieniać znaki, to tak zaznacz.

Radek: (−∞,−2> <2,3) <3,∞)

Radek: ?

Mila: gdzie tam widzisz 3. (−∞−2> U(−2,2)U<2,∞)

Radek: Nie na ten spojrzałem wykres. Czyli Dalej nie wiem.

Mila: No czego nie wiesz?

Radek: Jak zapisać te przedziały.. Mam takie wrażenie, że nie zdążę przerobić wszystkiego tego czego nie umiem do matury.

Mila: |x²−4|+|x−2|=3 |x²−4|=x²−4 dla x²−4≥0 czyli dla x≤−2 lub x≥2 |x−2|=x−2 dla x≥2 Na osi zaznaczam, gdzie (x²−4) ma wartości dodatnie oraz x−2 ma wartości dodatnie. masz na osi przedziały, 20:42 1)(−∞,−2> x²−4+(−x+2)=3 i rozwiązujesz 2) (−2,2) −x²+4+(−x+2)=3 i rozwiązujesz 3) <2,∞) x²−4+x−2=3 i rozwiązujesz

Radek: To mogę prosić o jakiś przykład tylko do ustalenia przedziałów ?

Mila: |x²−9|+|x+4|=6

Mila: |x²−9|+|x−4|=6

Radek: |x²−9|+|x+4|=6 (−∞,−3) <−3,−2> (−2,−2) <−2,∞) ?

Mila: Całkiem bez sensu.

Marcin: A nie czasem (−∞;−4) <−4;−3> <−3;3> (3;+∞)?

Radek: 1⁰ (−∞,−4> 2⁰ (−4,−3) 3⁰ <−3,3) 4⁰ <3,∞) teraz ok ?

Marcin: Pewnie że ok Radku

Marcin: Wątpię że trafimy na maturze na równanie z aż czterema przedziałami

Radek: Ja wolę to umieć.

Marcin: Jasne, jasne Ja u siebie w rozwiązaniu źle przedziały podomykałem

Radek: |x²−9|+|x−4|=6 1⁰ (−∞,−3) 2⁰ <−3,3) 3⁰ <3,4) 4⁰ <4,∞)

Mila: Moze być.

Radek: A czemu w tym przykładzie Pani napisała |x²−4|+|x−2|=3 (−∞−2> U(−2,2)U<2,∞) a może być tak (−∞−2) <−2,2) <2,∞) czy nie ?

Mila: Ja domykam tam, gdzie wyrażenie |..| jest ≥0. x²−4=0 dla x=2 lub x=−2 ale wyrażenie −x²+4=0 też dla x=2 lub x=−2 tam funkcje mają wartość 0, a zmiana znaku jest dla x∊(−2,2)

Radek: A mój sposób by przeszedł ?

Mila: Myślę,że tak.

Radek: Dziękuję. Będzie Pani jeszcze na forum dziś ?

Marcin: Przecież przedziały możemy zamykać tak jak chcemy. Czy się mylę?

Mila: Rozwiążcie Panowie maturzyści. https://matematykaszkolna.pl/forum/235596.html