Udowodnij tezę o podzielności przez 9. Hubabuba: "Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9." Powie ktoś czy za takie obliczenie/udowodnienie dostałbym maksymalną liczbę punktów? n−1∊N n∊N n+1∊N k∊N a∊N Teza: (n−1)³+n³+(n+1)³=9k (n−1)³+n³+(n+1)³=n³−3n²+3n−1+n³+n³+3n²+3n+1=3n³+6n=3n(n² + 2) 1) n=3a − pod n podstawiamy liczbę podzielną przez 3 9a(9a²+2) − liczba podzielna przez 9 2) n=3a+1 − pod n podstawiamy liczbę niepodzielną przez 3 (9a+3)[(3a+1)²+2)=(9a+3)(9a²+6a+3)=3(3a+3)3(3a²+2a+1)=9(3a+3)(3a²+2a+1) − liczba podzielna przez 9 3) n=3a+2 − pod n podstawiamy liczbę niepodzielną przez 3 Podobnie jak u góry podstawiamy i wyliczamy i ostatecznie wychodzi 9(3a+2)(3a²+4a+2), czyli liczba podzielna przez 9. Skoro 3n(n²+2) podzielne przez 9 dla liczb podzielnych i niepodzielnych przez 3 to suma trzech kolejnych liczb naturalnych (n−1)³+n³+(n+1)³ także jest podzielne przez 9. Teza (n−1)³+n³+(n+1)³=9k jest prawdziwa, co należało dowieść.

Hubabuba: Ogólnie chciałbym wiedzieć czy sposób rozwiązania tego zadania jest prawidłowy.

Mila: Myślę, że tak. Inny sposób: Początek jak u Ciebie. 3n³+6n= 9n³−6n³+6n= =9n³−(6n³−6n)=9n³−6n(n²−1)=9n³−6n*(n−1)*(n+1) 9n³ podzielne przez 9 jako wielokrotność 9 6n(n−1)(n+1)=2*3*(n−1)*n*(n+1) podzielne przez 9 jako iloczyn 3 przez iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych ( jedna z nich jest podzielna przez 3)

Hubabuba: Dzięki wielkie O, twój sposób krótszy.